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相关试卷

1、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $B C D ， M ， P$ 分别是 $A D ， B M$ 的中点，点 $Q$ 在棱 $A C$ 上，且 $A Q = 3 Q C$ .

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $B C D$ ；

(2)、若 $A D = B D = B C = 2 C D$ ，求平面 $B C M$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值.

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3 ， a_{n + 1} = a_{n} + 8 n + 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，若 $\vec{F_{2} B} = 3 \vec{A F_{2}}, ∠ F_{1} A F_{2} = 60^{\circ}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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4、已知函数 $f (x) = 2 x - s i n 2 x$ ，则不等式 $f (x^{2}) + f (3 x - 4) < 0$ 的解集为.

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5、已知圆锥的表面积为 $9 π$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为.

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6、已知点 $A, B$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 26$ 上两动点，且 $|A B| = 4 \sqrt{6}$ ，点 $P$ 为直线 $l$ ： $x + y + 10 = 0$ 上动点，则（）

A、以 $A B$ 为直径的圆与直线 $l$ 相离 B、 $∠ A P B$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为8 D、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最小值为112

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7、已知函数 $f (x) = sin (x - \frac{π}{3}) sin (x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, 2π]$ 上有 4 个零点

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8、已知互不相等的一组数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，记 $\bar{x}$ 为 $x_{n + 1}$ ，则 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, x_{n + 1}$ 这组新数据与原数据相比，一定不变的量有（）

A、极差 B、中位数 C、平均数 D、标准差

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9、已知 $sin α + cos α = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，且 $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ ，则 $tan (2 α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $- 7$ D、7

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10、 $P, Q$ 分别是抛物线 $x^{2} = 2 y$ 和 $x$ 轴上的动点， $M (2, - 1)$ ，则 $|P M| + |P Q|$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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11、从 9 名同学中选出 4 人去参加环保活动，若甲、乙两名同学至少有 1 名位参加，则选派方案共有（）

A、56 种 B、70 种 C、91 种 D、126 种

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12、已知 $a ， b ， c$ 均为不等于 1 的正实数，若 $a^{3} = b^{2} ， b^{3} = c^{2}$ ，则 ${log}_{c} (a b) =$ （）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{10}{9}$

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13、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为非零向量，则 “ $\vec{b} = \vec{c}$ ” 是 “ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ” 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、若复数 $z$ 满足 $i (2 - z) = 1$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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15、集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\} ， B = \{x \in Z ∣ x^{2} \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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16、平面区域M是平面区域N的一部分，在N内随机取一点，事件A表示所取点在区域M内，则 $P (A) = \frac{区域 M 的面积}{区域 N 的面积}$ ．大量试验表明，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率 $f_{n} (A)$ 逐渐稳定于事件A发生的概率，这个性质称为频率的稳定性，我们可以用频率 $f_{n} (A)$ 估计概率 $P (A)$ ．

(1)、为了估算曲线 $y = \sin x (x \in [0, π])$ 与x轴围成的区域M的面积，记点集 $\{(x, y) | 0 \leq x \leq π, 0 \leq y \leq 1\}$ 表示的区域为N（矩形及内部），如图1所示．利用计算机在区域N内随机生成10000个点，统计后发现，有6400个点落在区域M内．试估算M的面积．（ $π \approx 3.14$ ，结果保留一位小数）

(2)、1777年，蒲丰提出估算圆周率的一种方法——蒲丰投针法．在平面上有一组平行直线，相邻两条平行直线距离均为6，向平面上随机投下一根质地均匀，长度为2的细针，记细针的中点到最近的一条平行直线的距离为y，细针所在直线向上的方向与平行直线向右的方向所成角为 $x (0 < x < π)$ ，如图2所示．特别地，细针所在直线与平行直线平行或重合时， $x = 0$ ．
（ⅰ）针与平行直线有公共点时，写出y与x满足的不等关系式；
（ⅱ）记录投针次数为n（n足够大），针与平行直线有公共点次数为m．一次投针结果对应平面直角坐标系上的一个点 $(x, y)$ ，利用（1）的结论，求圆周率 $π$ 的近似值（用m，n表示）．

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17、已知函数 $f (x) = a^{x} - {(\frac{1}{a})}^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性（不需证明）；

(2)、若 $a = 2$ ，
（ⅰ）解不等式 $f (x) \leq \frac{3}{2 x}$ ；
（ⅱ）若 $g (x) = 2^{2 x + 1} - f (2 x) + 2 t f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值为 $- \frac{7}{4}$ ，求 $t$ 的值．

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18、如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 的中点， $A B = B C = 4$ ， $A A_{1} = 2$ ．

(1)、证明： $B D_{1} //$ 平面 $E D C_{1}$ ；

(2)、设平面 $α //$ 平面 $E D C_{1}$ ，且 $B \in α$ ，在图中作出 $α$ 与长方体表面的交线（不必说明作法和理由），并求交线围成图形的面积．

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19、为了解某地区1000家中小型企业2023年的净利润（单位：万元）情况，从中随机抽取80家企业的净利润数据，画出频率分布直方图，如图所示．

(1)、估计该地区中小型企业2023年净利润的众数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、已知这80家企业2023年净利润的标准差为10，估计该地区有多少家中小型企业的净利润在以平均数为中心、2倍标准差的范围内．

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20、设锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} b = 2 a \sin B$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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