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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c, ∠ A B C$ 的平分线BD交AC于点 $D$ ．

(1)、求证： $\frac{A D}{C D} = \frac{c}{a}$ ；

(2)、若 $\sqrt{3} c \sin B + b \cos C = a + c$ ．
（ⅰ）求 $B$ ；
（ⅱ）若 $a = 2 c, B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查．将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长（单位：小时）数据分成4组：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，根据分组数据制成了如下图所示的频率分布直方图．

(1)、求a的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数；

(2)、乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率．

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3、（1）已知复数 $z = 3 + b i$ （其中 $i$ 为虚数单位）满足 $| z - 2 i | = 5$ ，求实数 $b$ 的值；
（2）在复数范围内，解方程： $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ．

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4、如图，已知 $A D ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ B C, A C = B C = 2 A D = 2$ ， $E, F$ 分别为棱 $B D, A C$ 上的动点（含端点），则线段 $E F$ 长度的最小值为.

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5、若复数 $z = a + b i$ （其中 $i$ 为虚数单位， $a, b \in R, b \neq 0$ ）满足 $z + \frac{4}{z}$ 为实数，则 $z \cdot \bar{z} =$ ．

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6、在平面直角坐标系中，已知 $O$ 为原点，点 $A (1, 2), B (2, 1)$ ，则 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角的余弦值 $\cos < \vec{O A}, \vec{O B} > =$ ．

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7、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，M为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $N$ 为棱 $C C_{1}$ 上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（）

A、当 $N$ 为棱 $C C_{1}$ 上的中点时，平面 $A_{1} M N$ 经过顶点 $B$ B、当 $N$ 为棱 $C C_{1}$ 上的中点时，则 $A N / /$ 平面 $A_{1} D M$ C、当且仅当点 $N$ 运动到顶点 $C$ 时，三棱锥 $A - A_{1} M N$ 的体积最大 D、棱 $C C_{1}$ 上存在点 $N$ ，使得 $| B N | + | M N | = 2 \sqrt{3}$

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8、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{12}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = 2 \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{5π}{6}$ 个单位得到 D、方程 $f (x) - 1 = 0$ 在区间 $(0, 2 π]$ 上恰有三个不等的实根

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9、某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（）

A、该学校高一学生共800人 B、志愿服务小组共有学生96人 C、志愿服务小组中高三学生共有20人 D、某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 $\frac{1}{25}$

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10、如图，在扇形AOB中，扇形的半径为 $1, ∠ A O B = \frac{2π}{3}$ ，点 $P$ 在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上移动， $\vec{O P} = a \vec{O A} + b \vec{O B}$ ．当 $∠ A O P = \frac{π}{2}$ 时， $a + b =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a, b, c, a = 3, A = 60^{°}, b = m$ ，要使此三角形的解有两个，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(3, 2 \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ C、 $(3, 6)$ D、 $(2 \sqrt{3}, 6)$

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12、有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号为1，2，3，4，5的5个球，乙盒装有编号为1，2，3的3个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率相同，现从两个盒子中各取出1个球，设事件 $A =$ “从甲盒中所抽取的球的编号小于3”， $B =$ “两个球编号之和为偶数”，则 $P (A B) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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13、已知 $\sqrt{3} \sin θ - \cos θ = \frac{2}{3}, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (θ + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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14、设m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α, m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m ⊥ n, n \subset α$ ，则 $m ⊥ α$

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15、如图，水平放置的 $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 恰为腰长为2的等腰直角三角形，则 $△ A B C$ 中最长边的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、6

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16、某校举行演讲比赛，9位评委对参赛选手李明的评分分别为87，85，91，95，90，92，96，88，83，则这组数据的第70百分位数是（）

A、92 B、91.5 C、91 D、90

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17、复数 $z = {(2 - i)}^{2}$ （其中 $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，直线 $l : y = k x + 1$ 过点 $M (1, \frac{1}{2})$ ，且与椭圆 $E$ 相交于 $P, Q$ 两点， $M$ 是线段 $P Q$ 的中点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若梯形 $A B C D$ 的顶点都在椭圆 $E$ 上，且 $A B / / C D$ ，对角线 $A C$ 和 $B D$ 交于点 $M$ ，线段 $A B, C D$ 的中点分别为 $G, H$ .
(i)证明： $G, H, O, M$ 四点共线；
(ii)试探究直线 $A D$ 与直线 $B C$ 的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，请说明理由.

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19、已知函数 $f (x) = a ln x + x^{2} - 4 x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明：函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点.

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20、某同学参加射击比赛，每人配发 $3$ 颗子弹. 射击靶由内环和外环组成，若击中内环得 $8$ 分，击中外环得 $4$ 分，脱靶得 $0$ 分. 该同学每次射击，脱靶的概率为 $\frac{1}{4}$ ，击中内环的概率为 $\frac{1}{4}$ ，击中外环的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每次射击结果相互独立. 只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.

(1)、若已知该同学得分为 $8$ 分的情况下，求该同学只射击了 $2$ 发子弹的概率；

(2)、设该同学最终得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ .

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