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相关试卷

1、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是边长为2的正三角形，点D满足 $\vec{B_{1} D} = \vec{D C_{1}}$ ，平面 $B B_{1} C_{1} C$ $⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A D = \sqrt{7}$

(1)、求证 $A A_{1} ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、若直线 $C D$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7} .$
（i）求平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的距离；
（ii）求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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2、设 $P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2}),$ ， ···， $P_{n} (x_{n}, y_{n}) (n \geq 3, n \in N^{*})$ 都在椭圆C： $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 上，且 $a_{1} = |O P_{1} |^{2}, a_{2} =| O P_{2} |^{2}, \dots, a_{n} = | O P_{n} |^{2}$ 构成一个公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列（其中O是坐标原点），记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 及 $P_{1} (10, 0) .$

(1)、若 $S_{3} = 255$ ，求点 $P_{3}$ 的坐标（写出一个即可）：

(2)、当公差d变化时，求 $S_{100}$ 的最小值.

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3、乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2x2列联表．乒乓球运动总计
性别
乒乓球运动
总计
喜欢
不喜欢
男生
40
100
女生
20
总计
120
200

(1)、先完成列联表，依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？

(2)、为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加乒乓球动动集训，再从这6人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
$α$
0.100
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
其中 $n = a + b + c + d$ .

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$

(1)、求证数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $c_{n} = n \cdot (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设 $A = (x_{1}, y_{1})$ ， $B = (x_{2}, y_{2})$ ，则A，B两点间的曼哈顿距离 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ .已知 $M = (1, 2)$ ，若点 $P$ 满足 $d (M, P) = 2$ ，点N在圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y = 0$ 上运动，则 $|P N|$ 的最大值为

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6、已知函数 $f (x) = - x^{2} + a \ln (2 x + 3)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是减函数，则 $a$ 的取值范围是

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7、某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有种.

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8、如图，在棱长为 $3 \sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是平面 $A_{1} B C_{1}$ 内一个动点，且满足 $P D + P B_{1} = 3 + 3 \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B_{1} D ⊥ P B$ B、直线 $B_{1} P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角为定值 C、点P的轨迹的周长为 $3 \sqrt{3} π$ D、三棱锥 $P - B B_{1} C_{1}$ 体积的最大值为 $6 \sqrt{2}$

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9、已知 $A, B$ 为随机事件， $P (A) = 0.5, P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $A, B$ 为互斥事件，则 $P (A B) = 0.9$ B、若 $A, B$ 为互斥事件，则 $P (\bar{A} + \bar{B}) = 1$ C、若 $A, B$ 相互独立，则 $P (A + B) = 0.7$ D、若 $P (B | A) = 0.3$ ，则 $P (B | \bar{A}) = 0.5$

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10、直线 $x = t y + 3$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于M，N两点，则（）

A、 $p = 3$ B、 $p = 6$ C、 $|M N|$ 的最小值为6 D、 $|M N|$ 的最小值为12

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11、若函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则不等式 $f^{'} (x) < f^{'} (2 x + 2)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- 2, 0)$

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12、已知 $F$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，直线 $F A$ 交双曲线 $C$ 于点 $B$ ，若 $\vec{A B} = 3 \vec{F A}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、3

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = \frac{1}{2} S_{n - 1} + 2 (n \geq 2)$ ，若 $S_{1} = 2$ ，则 $\log_{2} a_{8}$ 的值是（）

A、 $- 7$ B、 $- 6$ C、6 D、7

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14、 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 项的系数为（）

A、 $- 80$ B、 $- 10$ C、10 D、80

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 0), \vec{b} = (0, - 1, 1), \vec{c} = (2, 3, m)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、设随机变量ξ服从正态分布 $N (4, 9)$ ，若 $P (ξ \geq 6) = 0.2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (ξ \leq 2) = 0.2$ ，标准差 $σ = 4$ B、 $P (ξ > 2) = 0.8$ ，标准差 $σ = 3$ C、 $P (ξ > 2) = 0.8$ ，标准差 $σ = 9$ D、 $P (ξ \leq 4) = 0.2$ ，标准差 $σ = 3$

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17、已知变量 $x$ 与 $y$ 的数据如下表所示，若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程是 $\hat{y} = 1.2 x + 8.4$ ，则表中 $m =$ （）
$x$
1
2
3
4
5
$y$
10
11
$m$
13
15

A、11 B、12 C、12.5 D、13

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18、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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19、欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△ $A B C$ 的外心、重心、垂心．

(1)、求证： $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ；

(2)、求证： $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ；

(3)、求证： $\vec{O H} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

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20、如下图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是等腰梯形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, B C / / A D$ ， $A B = B C = C D = 1, P A = A D = 2$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面PAB；

(2)、点 $Q$ 为PA上一点， $\frac{P Q}{P A} = \frac{1}{3}$ ，求证： $P C / /$ 平面BDQ；

(3)、点 $M$ 为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值.

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性别	乒乓球运动		总计
性别	喜欢	不喜欢	总计
男生	40		100
女生		20
总计	120		200

$α$	0.100	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828

$x$	1	2	3	4	5
$y$	10	11	$m$	13	15