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相关试卷

1、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 A C$ ， AD平分 $∠ B A C$ ，且 $A D = k A C$ .

(1)、若 $D C = 2$ ，求BC的长度；

(2)、求k的取值范围；

(3)、若 $S_{△ A B C} = 1$ ，求k为何值时，BC最短.

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2、某市体质健康测试标准包括身体形态、身体机能、躯体素质、运动能力等方面.为了了解学生体质健康情况，某校随机抽取了200名学生进行测试，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩不超过80分的有108人.

(1)、求图中a，b的值；

(2)、并根据频率分布直方图，估计该校学生测试分数的平均数和上四分位数（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；

(3)、若抽取的200名学生中，男生120人，女生80人，其中男生分数的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{1}^{2}$ ；女生分数的平均数为 $\bar{y}$ ，方差为 $s_{2}^{2}$ ；200名学生分数的平均数为 $\bar{z}$ ，方差为 $s^{2}$ .
① $s^{2} = \frac{120}{200} (s_{1}^{2} + {\bar{x}}^{2} - {\bar{z}}^{2}) + \frac{80}{200} (s_{2}^{2} + {\bar{y}}^{2} - {\bar{z}}^{2})$ ；② $s^{2} = \frac{120}{200} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{z})}^{2}] + \frac{80}{200} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{z})}^{2}]$ ，请判断公式①和公式②是否相等，并说明理由.

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3、如图1，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，将 $△ A B C$ 沿着 $A C$ 翻折到三角形 $A C E$ 的位置，连接 $D E$ ，形成的四面体 $A C D E$ 如图2所示.

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若四面体 $A C D E$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，求二面角 $E - A C - D$ 的大小.

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4、已知函数 $f (x) = a x^{2} + 2 a x + 1$ .

(1)、若 $f (1) = 4$ ，求 $f (x)$ 与 $g (x) = 4 x + 4$ 交点的横坐标；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上恰有一个零点，求a的取值范围.

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5、已知 $▱ A B C D$ 的顶点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, - 1)$ ， $D (3, 3)$ .

(1)、若单位向量 $\vec{n}$ 与 $\vec{A D}$ 方向相同，求 $\vec{n}$ 的坐标；

(2)、求向量 $\vec{A C}$ 与 $\vec{B D}$ 的夹角.

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6、在海面上，乙船以40km/h的速度朝着北偏东 $30 °$ 的方向航行，甲船在乙船的正东方向30km处.甲船上有应急物资需要运送上乙船，由于乙船有紧急任务不能停止航行，所以甲船准备沿直线方向以 $v km/h$ 的速度航行与乙船相遇.为了保证甲船能在2小时内和乙船相遇，甲船航行速度的最小值为（km/h）.

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7、若复数 $1 - i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $p + 2 q =$ .

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8、已知棱长为 $\sqrt{3}$ 的正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为.

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9、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $f (\frac{x}{2} + 1)$ 为奇函数，当 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = 3^{x} - \frac{1}{3}$ ，则（）

A、当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 3^{- x} - \frac{1}{3}$ B、当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = - 3^{x + 2} + \frac{1}{3}$ C、 $f (x)$ 在 $(3, 4]$ 上单调递增 D、 $f (2026) = - \frac{2}{3}$

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10、某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（）

A、诗经组中位数为3，众数为2 B、论语组平均数为3，方差为1 C、春秋组平均数为3，众数为2 D、礼记组中位数为2，极差为4

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11、已知 $△ A B C$ 是边长为1的正三角形， $M$ ， $N$ 分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{M N}$ 不能构成一组基底 B、 $\vec{A N} + \vec{M B} = \vec{N M}$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = \frac{1}{2}$ D、 $\vec{N M}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{4} \vec{A C}$

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12、在四棱 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为线段 $P B$ 的中点，F为线段 $B C$ 上的动点.若 $\tan ∠ E A F = \frac{\sqrt{10}}{2}$ ，则 $E F =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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13、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $A = 45^{\circ}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，则边c的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(\sqrt{2}, 2)$ C、 $(2, 2 \sqrt{2})$ D、 $(2, 4)$

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14、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{5}$ 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，得到函数 $g (x)$ 的图象.已知 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{5})$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $f (x) = - \sin 4 x$ B、 $f (x) = \sin x$ C、 $f (x) = sin (x + \frac{π}{5})$ D、 $f (x) = \sin (4 x - \frac{π}{5})$

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15、已知 $x > - 3$ ，则 $x + \frac{9}{x + 3}$ 的最小值为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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16、已知函数 $f (x) = x |x|$ ，则 $y = f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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17、设 $a \in R$ ，则“ $a < 0$ ”是“ $2^{a} < \frac{1}{8}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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18、若复数z满足 $(4 + 3 i) z = 5 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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19、已知集合 $A = \{x| y = \sqrt{x}\}$ ， $B = \{x| y = \frac{1}{x - 1}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x| x \geq 0\}$ B、 $\{x| x \geq 1\}$ C、 $\{x| 0 \leq x < 1\}$ D、 $\{x| x \geq 0$ 且 $x \neq 1\}$

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20、设函数 $f (x) = e^{x} + cos x$ ， $g (x) = sin 2 x .$

(1)、求证：当 $x > 0$ 时，函数 $f (x)$ 没有零点；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线，也是曲线 $r (x) = g (x) + a$ 的切线，求a的值；

(3)、对任意 $x \in (0, + \infty)$ ，关于x的不等式 $f (2 x) > k g (x) + 2$ 恒成立，求正数k的取值范围.

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