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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 3, x \leq 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，若存在实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) + x_{3} f (x_{3})$ 的最大值为.

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2、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y = 0$ ，设其与 $x$ 轴､ $y$ 轴正半轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点.已知另一圆 $C_{2}$ 的半径为 $2 \sqrt{2}$ ，且与圆 $C_{1}$ 相外切，则 $|C_{2} M| \cdot |C_{2} N|$ 的最大值为（）

A、20 B、 $20 \sqrt{2}$ C、10 D、 $10 \sqrt{2}$

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3、已知点 $A$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，若 $A$ 到抛物线焦点的距离为5，且 $A$ 到 $x$ 轴的距离为4，则 $p =$ （）

A、1或2 B、2或4 C、2或8 D、4或8

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4、已知函数是定义在 $R$ 上的偶函数，且在区间 $[0, + \infty)$ 单调递减，若 $a \in R^{+}$ ，且满足 $f ({log}_{3} a) + f ({log}_{\frac{1}{3}} a) \leq 2 f (2)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{9}, 9]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{9}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 2]$ D、 $(0, \frac{1}{9}] \cup [9, + \infty)$

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5、已知 $a, b \in R$ ， “ $a^{2} = b^{2}$ ”是“ $a^{2} + b^{2} = 2 a b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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6、给定整数 $n \geq 3$ ，由 $n$ 元实数集合 $S$ 定义其相伴数集 $T = \{|a - b| ∣ a ､ b \in S, a \neq b\}$ ，如果 $min (T) = 1$ ，则称集合S为一个 $n$ 元规范数集，并定义S的范数 $f$ 为其中所有元素绝对值之和.

(1)、判断 $A = \{- 0.1, - 1.1, 2, 2.5\}$ 、 $B = \{- 1.5, - 0.5, 0.5, 1.5\}$ 哪个是规范数集，并说明理由；

(2)、任取一个 $n$ 元规范数集S，记 $m$ 、 $M$ 分别为其中最小数与最大数，求证： $|min (S)| + |max (S)| \geq n - 1$ ；

(3)、当 $S = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2023}\}$ 遍历所有2023元规范数集时，求范数 $f$ 的最小值.
注： $min (X)$ 、 $max (X)$ 分别表示数集 $X$ 中的最小数与最大数.

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7、对于二次函数 $y = m x^{2} + n x + t (m \neq 0)$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $m x_{0}^{2} + n x_{0} + t = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为二次函数 $y = m x^{2} + n x + t (m \neq 0)$ 的不动点.

(1)、求二次函数 $y = x^{2} - x - 3$ 的不动点；

(2)、若二次函数 $y = 2 x^{2} - (3 + a) x + a - 1$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值.

(3)、若对任意实数 $b$ ，二次函数 $y = a x^{2} + (b + 1) x + (b - 1) (a \neq 0)$ 恒有不动点，求 $a$ 的取值范围.

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8、已知p：关于x的方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} + a - 1 = 0$ 有实数根， $q : m - 1 \leq a \leq m + 3$ ．

(1)、若命题 $\neg p$ 是假命题，求实数a的取值范围；

(2)、若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

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9、已知非空集合 $A = {x ∣ a - 1 \leq x \leq 2 a + 3}$ ， $B = {x ∣ - 2 \leq x \leq 4}$ ，全集 $U = R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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10、已知集合 $A = \{x| a + 2 \leq x \leq 3 a - 4\} (a \in R) ， B = \{x| 8 \leq x \leq 12\}$ .

(1)、若 $A \cup ∁_{R} B = R$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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11、对于一个由整数组成的集合 $A$ ， $A$ 中所有元素之和称为 $A$ 的“小和数”， $A$ 的所有非空子集的“小和数”之和称为 $A$ 的“大和数”．已知集合 $B = \{- 7, - 3, - 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13\}$ ，则 $B$ 的“小和数”为， $B$ 的“大和数”为．

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12、设集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ ， $B = \{a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, a_{3}^{2}, a_{4}^{2}, a_{5}^{2}\}$ ，其中 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $a_{5}$ 是五个不同的正整数，且 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5}$ ，已知 $A \cap B = \{a_{1}, a_{4}\}$ ， $a_{1} + a_{4} = 10$ ， $A \cup B$ 中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：.

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13、已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 6 = 0}$ ， $C = {x | x^{2} - m x + m^{2} - 13 = 0}$ ，若 $B \cap C \neq \emptyset$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，则 $m =$ ．

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14、定义全集 $U$ 的子集 $A$ 的特征函数 $f_{A} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in A \\ 0, x \in ∁_{U} A \end{array}$ ，这里 $∁_{U} A$ 表示 $A$ 在全集 $U$ 中的补集，那么对于集合 $A$ 、 $B \subseteq U$ ，下列所有正确说法是（）

A、 $A \subseteq B \Rightarrow f_{A} (x) \leq f_{B} (x)$ B、 $f_{∁_{U} A} (x) = 1 - f_{A} (x)$ C、 $f_{A \cup B} (x) = f_{A} (x) + f_{B} (x)$ D、 $f_{A \cap B} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$

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15、下列说法正确的是（）．

A、 $a > b$ 的一个必要条件是 $a - 1 > b$ B、若集合 $A = \{x |a x^{2} + x + 1 = 0\}$ 中只有一个元素，则 $a = 4$ C、“ $a c < 0$ ”是“一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有一正一负根”的充要条件 D、已知集合 $M = \{0, 1\}$ ，则满足条件 $M \cup N = M$ 的集合N的个数为4

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16、记 $max \{x, y, z\}$ 表示 $x, y, z$ 中最大的数．已知 $x, y$ 均为正实数，则 $\max \{\frac{2}{x}, \frac{1}{y}, x^{2} + 4 y^{2}\}$ 的最小值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 周长为3，则 $\frac{4}{a + b} + \frac{1}{c}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、3 D、 $\frac{10}{3}$

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18、在整数集 $Z$ 中，被 $5$ 除所得余数为 $k$ 的所有整数组成一个“类”，记为 $[k]$ ，即 $[k] = \{5 n + k |n \in Z\}, k = 0, 1, 2, 3, 4$ ，则下面选项正确的为（）

A、 $2025 \in [3]$ B、 $- 2 \in [2]$ C、 $Z = [0] \cup [1] \cup [2] \cup [3] \cup [4]$ D、整数 $a 、 b$ 属于同一“类”的充分不必要条件是“ $a - b \in [0]$ ”

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19、已知条件 $p : | x + 1 | > 2$ ，条件 $q : x > a$ ，且 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \geq - 1$ D、 $a \leq - 3$

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20、已知 $1 \leq a + b \leq 4$ ， $- 1 \leq a - b \leq 2$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $\{x| - 4 < x < 10\}$ B、 $\{x| - 3 < x < 6\}$ C、 $\{x| - 2 < x < 14\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 10\}$

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