相关试卷

1、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与x轴交于 $A (a, 0)$ 、 $B (b, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, 3)$ ，其中a、b分别是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两个根（ $a > b$ ）．连接 $A C$ ，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作 $P D ⊥ x$ 轴于点D，交 $A C$ 于点E．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，作 $P F ⊥ P D$ 于点P，使 $P F = \frac{1}{2} O A$ ，以 $P E$ ， $P F$ 为邻边作矩形 $P E G F$ ，设矩形 $P E G F$ 的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；

(3)、如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线 $P D$ 上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = α$ （ $0 ° < α < 45 °$ ）．将线段 $C A$ 绕点C顺时针旋转90°得到线段 $C D$ ，过点D作 $D E ⊥ B C$ ，垂足为E．

(1)、如图1，求证： $C E = A B$ ；

(2)、如图2， $∠ A C D$ 的平分线与 $A B$ 的延长线相交于点F．连接 $D F$ 并延长与 $C B$ 的延长线相交于点P．请判断三角形 $P C D$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图3，在（2）的条件下，将 $△ B F P$ 沿 $A F$ 折叠．在 $α$ 变化过程中，当点P落在点E的位置时，若 $C D$ 等于 $15 \sqrt{5}$ ，求 $△ P C D$ 的面积．

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3、如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径， $A E$ 是弦，点F在弧 $A E$ 上，且弧 $A F$ 与弧 $B E$ 相等， $A E$ 与 $B F$ 交于点C，点D为 $B F$ 延长线上一点，且 $C D = C A$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 4$ ， $A D = 2 \sqrt{5}$ ，求 $A C$ 的长．

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4、为实施乡村振兴战略，某地大力推行果树种植直销一体化发展模式．某果农种植了一批樱桃和枇杷，并直播带资进行销售，已知该果农第一季度樱桃销售量为1000千克，销售均价为30元/千克．枇杷的销售量为2000千克，销售均价为20元/千克．第二季度樱桃的销售量比第一季度减少了 $m %$ ，销售均价与第一季度相同．枇杷的销售量比第一季度增加了 $2 m %$ ．若该果农第一季度销售樱桃和枇杷的销售总金额与第二樱桃和枇杷的销售总金额相同，求m的值．

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5、为提高广大青少年的科学素养，某市教育局准备举行“科技应用技能大赛”．光明中学在学校科技创新兴趣小组通过初赛选拔优秀选手参加市赛，并从初赛学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成四个等级： $A : 90 \leq x \leq 100$ ； $B : 80 \leq x < 90$ ； $C : 70 \leq x < 80$ ； $D : 60 \leq x < 70$ ）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
请完成下列问题：

(1)、样本容量为_________，请补全直方图；

(2)、学生成绩等级中位数为_________， $a =$ _________；

(3)、在参赛学生中有4名学生得满分，七年级1人，八年级1人，九年级2人，从这4名学生中任意推荐两人参加市赛，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．

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6、如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B A$ 延长线上一点，点 $E$ 是 $A C$ 的中点．
（1）实践与操作：①作 $∠ D A C$ 的平分线 $A M$ ；②连接 $B E$ 并延长交 $A M$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，在图中标明相应字母）；
（2）猜想与证明：猜想四边形 $A B C F$ 的形状，并说明理由．

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7、近年来，我国在人工智能领域的发展呈现出蓬勃发展的态势，近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称 $D e e p S e e k$ ）开发的 $A I$ 大模型在全球范围内掀起了一股热潮，据悉， $D e e p S e e k$ 训练一个 $A I$ 模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟，假设总数据量为x条（ $x > 2000$ ），训练时间为y分钟．

(1)、求y关于x的函数关系式；

(2)、若数据总量为6000条，求训练的时间；

(3)、若训练的时间为90分钟，求使用的数据总量．

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8、计算： $|1 - \sqrt{2}| + \sqrt{18} - {(\sqrt{2} - 1)}^{0} - 2 \cos 45 °$

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9、如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，点A是 $l_{1}$ 上的定点， $A B ⊥ l_{2}$ 于点B，C，D分别是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 上的动点，且 $A C = B D$ ，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点E， $B F ⊥ C D$ 于点F，则当 $∠ B A F$ 最大时， $\tan ∠ B A F$ 的值为．

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10、某数学兴趣小组用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为 $900 N$ 和 $0.5 m$ ，当动力臂由 $1.5 m$ 增加到 $2 m$ 时，撬动这块石头可以节省N的力．

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11、已知 $a^{2} - 2 b + 1 = 0$ ，则 $\frac{5 b}{a^{2} + 1}$ 的值是．

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12、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，点E是 $B C$ 边上的动点，连接 $A E$ ， $D E$ ，过点A作 $A F ⊥ D E$ 于点F．设 $D E = x$ ， $A F = y$ ，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（）

A、 $y = \frac{x}{12}$ B、 $y = \frac{18}{x}$ C、 $y = \frac{24}{x}$ D、 $y = \frac{36}{x}$

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13、如图，书架长 $102 cm$ ，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚 $1.2 cm$ ，每本语文书厚 $1.5 cm$ ．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（）

A、45 B、46 C、47 D、48

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14、把一张半径为 $6 cm$ 的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧 $A B$ 的长为（）

A、 $4 π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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15、《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（）

A、 $x + \frac{1}{3} = 100$ B、 $x + 3 x = 100$ C、 $x + \frac{100 - x}{3} = 100$ D、 $x + \frac{x}{3} = 100$

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16、把一副含 $30 °$ 和 $45 °$ 角的直角三角板按如图方式放置于两条平行线间，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $30 °$

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17、为增强数学传统文化教育学老师布置同学们查阅资料了解祖冲之、刘徽、赵爽这3大成就对数学发展起到的巨大推动作用，数学课上老师让甲乙两位同学均随机选取这3位数学家的成就进行分享，则选到不同数学家的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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18、如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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19、下列运算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{10} \div a^{2}$ B、 $a^{3} \cdot a^{2}$ C、 $a^{2} + a^{3}$ D、 ${(a^{2})}^{3}$

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20、十四届全国人大第三次会议于2025年3月5日在北京隆重召开．政府工作报告中指出：我国产业升级有新进展，高技术制造业、装备制造业不断增长，其中2024年新能源汽车年产量突破1300万辆，数据1300万用科学记数法表示为（）

A、 $1.3 \times 10^{3}$ B、 $0.13 \times 10^{8}$ C、 $13 \times 10^{6}$ D、 $1.3 \times 10^{7}$

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