相关试卷

1、下列事件中，属于必然事件的是（　　）

A、太阳东升西落 B、打开电视，正在播放广告 C、经过红绿灯路口时，遇到绿灯 D、抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上

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2、下列图形中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 是对顶角的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3、请依次完成以下三个问题：

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，若 $E$ ， $F$ 分别是线段 $C D$ ， $B C$ 上的点， $∠ E A F = 45 °$ ，把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A B G$ ，易证 $△ A E F$ 和全等，线段 $B F$ ， $D E$ 和 $E F$ 之间的数量关系为．

(2)、如图2，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 为线段 $B C$ 上的点， $∠ D A E = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $E C = 4$ ，求线段 $D E$ 的长；

(3)、如图3，在直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $D$ ， $E$ 为线段 $B C$ 上的点， $∠ D A E = 30 °$ ， $B D = 2$ ， $A B = 5$ ，直接写出线段 $B C$ 和 $D E$ 的长． $($ 提示：取 $B C$ 中点 $F$ ，连接 $A F)$

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4、某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于 $x$ 的多项式中，如果 $x$ 取某个值 $a$ 使得这个多项式等于0，那么 $x - a$ 是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于 $x$ 的二次多项式 $x^{2} - 5 x + 6$ 中，当 $x = 2$ 时，多项式等于0，于是它有一个因式是 $x - 2$ ，设 $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - b)$ ，展开，得 $x^{2} - 5 x + 6 = x^{2} - (2 + b) x + 2 b$ ，所以 $5 = 2 + b$ ， $6 = 2 b$ ，解得 $b = 3$ ．

(1)、小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当 $x = 1$ 时，二次多项式 $x^{2} - 5 x + 4$ 等于0，于是这个多项式有一个因式是，进一步求出另一个因式是．

(2)、小红问小亮，如果告诉你当 $x = 5$ 时，二次多项式 $x^{2} - 7 x + a$ 等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出 $a$ ，并进一步求出 $x^{2} - 7 x + a$ 分解因式的结果．如果不可以，请说明理由．

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5、某生态社区为创建"零碳公共空间"，计划采购两种清洁能源设备：小型风力发电机和光伏储能箱．已知首批采购2台小型风力发电机和3台光伏储能箱耗资69万元，第二批采购3台小型风力发电机和1台光伏储能箱耗资58万元．

(1)、求一台小型风力发电机和一台光伏储能箱的售价分别是多少万元？

(2)、此生态社区计划购买小型风力发电机和光伏储能箱两种设备共20台．为保障基础供电和控制噪音，要求小型风力发电机的数量不少于光伏储能箱的数量2倍，且小型风力发电机数量不超过16台，请你求出所有购买方案，并指出最省钱的方案．

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6、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别是E，F，连接 $E F$ ， $E F$ 与 $A D$ 交于点G．

(1)、求证： $A D$ 是 $E F$ 的垂直平分线；

(2)、若 $A B = 4$ ， $A C = 5$ ， $E D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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7、（1）求不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x + 3}{2} > x & ① \\ 3 x \geq 2 (x - 1) & ② \end{matrix}$ 的解集，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
（2）分解因式：① $4 x^{2} - 9$ ；② $m (a - 2) + n (2 - a)$ ．

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8、解不等式：

(1)、 $x + 2 < 5$ ；

(2)、 $2 x > 1 + x$ ．

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9、如图， $P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 4$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $P C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．
（提示：将 $△ A P C$ 绕 $A$ 点顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A P^{'} B$ ，连接 $P P^{'}$ ）

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10、某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位： $m g / L$ ）和污染物浓度（单位： $m g / L$ ）随时间 $x$ （天）的变化．溶解氧浓度由直线 $l_{1} : y = x + 1$ 描述，污染物浓度由直线 $l_{2} : y = k x + b (k \neq 0)$ 描述．已知在第 $m$ 天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为 $5 m g / L$ ），对应交点 $P (m, 5)$ ．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时 $x$ 范围是．

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11、如图，A，B的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A₁B₁ ，则a﹣b的值为．

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12、下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（）

A、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $2 x - 2 y = 2 (x - y)$ C、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ D、 $x^{2} + 2 x + 3 = {(x + 1)}^{2} + 2$

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13、在机器人编程课上，小明的任务是编写程序控制机器人将一块三角形部件从初始位置的 $△ A B C$ 移动到目标位置的 $△ D E F$ ．机器人每次移动指令包括水平平移和竖直平移两个步骤．根据移动前后的部件位置（如图），小明需要选择正确的平移指令是（）

A、把 $△ A B C$ 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B、把 $△ A B C$ 向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C、把 $△ A B C$ 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D、把 $△ A B C$ 向左平移4个单位，再向上平移2个单位

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于线段 $A B$ 与直线 $L : y = k x + b$ ，给出如下定义：若线段 $A B$ 关于直线 $L$ 的对称线段为 $A^{'} B^{'}$ （ $A^{'}$ ， $B^{'}$ 分别为点A，B的对应点），则称线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段 $A B$ 的“ $[k, b]$ 关联线段”已知点 $A (1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ ．

(1)、线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段 $A B$ 的“ $[1, 0]$ 关联线段”，点 $A^{'}$ 的坐标为________， $B^{'}$ 的坐标为________；

(2)、线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段 $A B$ 的“ $[1, b]$ 关联线段”，点 $A^{'}$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，则 $A^{'} B^{'}$ 的长为________，b的值为________；

(3)、线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段 $A B$ 的“ $[k, 0]$ 关联线段”，直线 $L_{1}$ 经过点 $C (0, 2)$ ，若点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 都在直线 $L_{1}$ 上，连接 $O A^{'}$ ，求线段 $C B^{'}$ 的长度；

(4)、点 $P (- 3, 0)$ ， $Q (- 3, 3)$ ，线段 $A^{'} B^{'}$ 为线段 $A B$ 的“ $[k, b]$ 关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线 $B^{'}$ 在线段 $P Q$ 上，直接写出b的取值范围．

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15、（1）【问题初探】在数学活动课上，梅老师提出如下问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ A B C = 2 ∠ C$ ．求证： $A C = A B + B D$ ；
小李同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在 $A C$ 上截取 $A E = A B$ ，连接 $D E$ ，将线段 $A C$ ， $A B$ ， $B D$ 之间的数量关系转化为 $C E$ 与 $B D$ 的数量关系；请根据小李同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】如图2， $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ，平面内有点D（点D和点A在 $B C$ 的同侧），连接 $D C$ ， $D B$ ， $∠ D = 45 °$ ， $∠ A B D + 2 ∠ A B C = 180 °$ ，探究 $B D$ 、 $A B$ 、 $C D$ 之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）【学以致用】如图3，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $B D = 3$ ， $D C = 2$ ． $∠ C A D = 2 ∠ A B C$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点E；求 $B E$ 的长．

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16、成都号称“最美公园城市”之一，某公园为了美化环境，预备购进 $A$ ， $B$ 两款花卉美化公园，已知 $A$ 款花卉的单价是 $B$ 款花卉的 $1.4$ 倍，若花费 $14000$ 元购买 $A$ 款花卉和 $7000$ 元购买 $B$ 款花卉，可购买 $A$ 款花卉比 $B$ 款花卉多 $300$ 株．

(1)、求 $A$ ， $B$ 两款花卉的单价是分别多少元；

(2)、该公园有1 $2480$ 元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进 $A$ ， $B$ 两款花卉共 $1000$ 株，其中 $B$ 款花卉数量不超过 $400$ 株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？

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17、若 $2 y - x = 3$ ，则 $4 y^{2} - 4 x y + x^{2}$ 的值是．

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18、如图，直线 $l : y = - 2 x + 4$ 与x轴、y轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，且与直线 $m$ 相交于点 $M (1, 2)$ ，已知直线 $m$ 经过点 $C (- 1, 0)$ ，且与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、求点 $A$ 、 $B$ 的坐标以及直线 $m$ 的解析式；

(2)、若 $P$ 为直线 $m$ 上一动点， $S_{△ B D P} = 2 S_{△ B D M}$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、点 $Q$ 在直线 $C D$ 上，当 $∠ B A Q = 45 °$ 时，求所有符合条件的点 $Q$ 的坐标．

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19、校服的生产成本是300元每套，出售过程中运输成本是10元每套，要使出售后的利润率不低于 $10 %$ 并且使学生得到实惠，请你用不等式的知识帮忙算算每套校服应该定价多少元呢？

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20、（1）解方程： $\frac{3 - x}{x - 4} + \frac{1}{4 - x} = 1$ ．
（2）解不等式组： $\{\begin{array}{l} x - 1 \leq 0 ① \\ \frac{x + 2}{3} - \frac{x}{2} < 1 ② \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．
（3）先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a + 1} \div \frac{a^{2} - a}{a^{2} + 2 a + 1} - 1$ ，其中 $a = \sqrt{5}$ ．

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