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1、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，点E是 $A B$ 边上一点， $B E = C E$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D， $A D$ 与 $E C$ 交于点G．

(1)、求证： $E A = E G$ ；

(2)、若G为 $C E$ 中点，判断线段 $A G$ 与线段 $D G$ 的数量关系，并说明理由．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，AE是 $△ A B C$ 的高．

(1)、如图1，若 $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 60 °$ ， AD是 $∠ B A C$ 的平分线，求 $∠ D A E$ 的度数；

(2)、如图1，若 $∠ C - ∠ B = α °$ ， AD是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $∠ D A E$ =___________．（用含 $α$ 的代数式表示）

(3)、如图2，延长AC到点F， $∠ C A E$ 和 $∠ B C F$ 的平分线交于点G，求 $∠ G$ 的度数．

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3、如图， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ，若利用 $AAS$ 证明 $△ A B C ≌ △ B A D$ ，需添加的条件是．（写出一种即可）

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ C A B = 45 °$ ， $A C = B C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，过点C作 $A D$ 的垂线交 $A B$ 于点E，交 $A D$ 于点F，连接 $D E$ ．若记 $∠ A D C$ 为α， $∠ D E B$ 为β，则 $α + β$ 的度数为（）

A、120° B、135° C、150° D、165°

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5、根据下列已知条件，能够画出唯一 $△ A B C$ 的是（）

A、 $A B = 5$ ， $B C = 4$ ， $∠ A = 70 °$ B、 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $A C = 13$ C、 $∠ A = 50 °$ ， $∠ B = 80 °$ ， $A B = 8$ D、 $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 90 °$

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6、能把三角形面积分成相等两部分的是（）

A、该三角形一边的中垂线 B、该三角形的角平分线 C、该三角形的高线 D、该三角形的中线

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7、如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设 $A B = b$ ， $O A = a$ 且 $∠ B A O = 60 °$ ．

(1)、请写出a和b的数量关系；

(2)、如图2，点D为 $A B$ 的中点，点P为y轴负半轴上一点，以 $A P$ 为边作等边三角形 $A P Q$ ，连接 $D Q$ 并延长交x轴于点M，若 $A B = 6$ ，求点M的坐标；

(3)、如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为 $O C$ 的中点，连接 $B E$ ，过点B作 $∠ C B F = ∠ A E B$ ，且 $B F = B E$ ，连接 $A F$ 交 $B C$ 于点P，过点F作 $F M ∥ x$ 轴交 $C B$ 的延长线于点M，
①求证：P为 $A F$ 的中点；
②求 $\frac{B P}{C P}$ 的值．

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8、已知： $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $∠ D C E$ 的顶点 $C$ 在射线 $O P$ 上，射线 $C D$ 交射线 $O A$ 于 $F$ ，射线 $C E$ 交射线 $O B$ 于 $G$ ．

(1)、如图①，若 $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，请直接写出线段 $C F$ 与 $C G$ 的数量关系：___________；

(2)、如图②，若 $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ D C E = ∠ A O C$ ，试判断线段 $C F$ 与线段 $C G$ 的数量关系并加以证明；

(3)、若 $∠ A O B = α$ ，当 $∠ D C E$ 满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立，请直接写出 $∠ D C E$ 满足的条件．

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9、下列各组数中互为相反数的是（）

A、 $- 3$ 与 $- \frac{1}{3}$ B、 $- (- 5)$ 与 $- 5$ C、 $- 2^{3}$ 与 ${(- 2)}^{3}$ D、2与 $|- 2|$

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10、俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘（ $\sqrt{2}$ 取1.4）．假设每天“遗忘”的百分比为 $x$ ，根据“两天不练丢一半”，有下列说法：
甲：可列方程 ${(1 - x)}^{2} = \frac{1}{2}$ ；                    乙：可列方程 $1 - 2 x = 50 %$ ；
丙：每天“遗忘”的百分比约为 $30 %$ ；       丁：每天“遗忘”的百分比约为 $25 %$ ．
其中正确的是（       ）

A、甲、丙 B、甲、丁 C、乙、丙 D、乙、丁

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11、如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{5}{2}$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、将此抛物线在 $x$ 轴下方的图像沿 $x$ 轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像 $L$ ，若将直线 $B C$ 向上平移 $t$ 个单位长度，使得平移后的直线与图像 $L$ 有两个公共点，请直接写出 $t$ 的取值范围．

(3)、如图②点 $P$ 是直线 $B C$ 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P D ∥ x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，作 $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，直接写出 $P D + \frac{\sqrt{5}}{2} P E$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

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12、在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如 $A (a, a)$ 就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 1$ 就是“好点二次函数”．

(1)、直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 上的“好点”坐标为；

(2)、若“好点二次函数” $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与 $y$ 轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；

(3)、若“好点二次函数” $y = \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $(- 2, 6)$ ，且顶点在第一象限，当 $m - 1 \leq x \leq m$ 时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求 $m$ 的值．

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13、［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从 $A$ 点击球，击球点是拋物线的最高点，点 $A$ 到地面的距离 $A O = 2.4 m$ ，球网上端点 $B$ 到地面的距离 $B C = 1.55 m$ ，人与球网之间的距离 $O C = 1.6 m$ ，假设两种击球路线都经过点 $B$ 正上方 $0.05 m$ 处的点 $D$ ，网前吊球和扣杀球的落点分别为点 $E$ 、 $F$ ．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离 $C E$ 的长是_________ $m$ ．
（3）甲在 $A$ 处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为 $36 m / s$ ．网前吊球时，羽毛球下降的高度 $h (m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系式为 $h = 5 t^{2}$ ．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要 $0.5 s$ ．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．

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14、如图，已知抛物线经过点 $A (1, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ ， $C (0, 3)$ 三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在 $x$ 轴下方的抛物线上，是否存在点 $M$ ，使得 $S_{△ A B M} = \frac{5}{3} S_{△ A B C}$ ？若存在求出 $M$ 点的坐标；若不存在，请说明理由；

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15、如图为二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 的图象，试观察图象回答下列问题：

(1)、写出方程 $- x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的解为 $x_{1} =$ ______， $x_{2} =$ ______；

(2)、当 $y > 3$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围为__________；

(3)、当 $- 3 < x < 3$ 时，直接写出 $y$ 的取值范围是__________．

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16、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(0, - 3)$ ， $(1, 0)$ ，求二次函数的表达式．

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17、用适当的方法解方程： $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ ．

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18、已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - m^{2}$ 的自变量 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 对应的函数值分别为 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ ，当 $2 < x_{1} < 3$ ， $0 < x_{2} < 1$ ， $x_{3} < - 3$ 时， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 三者之间的大小关系是（用“ $>$ ”连接）．

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19、据了解，某展览中心2月份的参观人数为14.4万人，4月份的参观人数为16.9万人．设2至4月参观人数的月平均增长率为 $x$ ，则可列方程为．

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20、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $A (m, 0)$ 和 $B (1, 0)$ ，下列结论：① $a b c < 0$ ；② $9 a + c < - 3 b$ ；③ $\frac{b}{c} = - 1 - \frac{1}{m}$ ；④ $a m^{2} - (3 a - b) m + a + b + c < 0$ ；⑤ $|a m - a| = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ ．其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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