相关试卷

1、

(1)、【问题提出】已知，如图1所示， $A D ⊥ D E$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，点 $C$ 在线段 $D E$ 上， $A C = B C$ ，且 $A C ⊥ B C$ ．求证： $△ A D C ≌ △ C E B$ ．

(2)、【问题解决】如图2所示，点 $D$ ， $C$ ， $E$ 在直线 $l$ 上，点 $A$ ， $B$ 在 $l$ 的同侧， $A C ⊥ B C$ ，若 $A D = A C = B C = B E = 5$ ， $C D = 6$ ，求 $△ B C E$ 的面积．

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2、如图，在笔直的公路 $A B$ 旁有一座山，为方便运输货物现要从公路 $A B$ 上的 $D$ 处开凿隧道修通一条公路到 $C$ 处，已知点 $C$ 与公路上的停靠站 $A$ 的距离为 $15 k m$ ，与公路上另一停靠站 $B$ 的距离为 $20 k m$ ，停靠站 $A$ 、 $B$ 之间的距离为 $25 k m$ ，且 $C D ⊥ A B$ ．

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

(2)、若公路 $C D$ 修通后，一辆货车从 $C$ 处经过 $D$ 点到 $B$ 处的路程是多少？

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3、如图， $△ A B C$ ．

(1)、用直尺和圆规作 $A B$ 的中垂线交 $B C$ 于D（保留痕迹）．

(2)、若 $∠ C = 2 ∠ B$ ，连结 $A D$ ，判断 $△ A D C$ 的形状，并说明理由．

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4、如图，一架 $2.5$ 米长的梯子 $A B$ 斜靠在竖直的墙 $A C$ 上，这时B到墙底端C的距离为 $0.7$ 米．

(1)、求梯子的顶端到地面的距离 $A C$ 的长．

(2)、如果梯子的顶端沿墙面下滑 $0.4$ 米，那么B将向外移动多少米？

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5、如图， $A E = B F$ ， $∠ C E B = ∠ D F A = 90 °$ ， $A D = B C$ ， $A D$ 与 $B C$ 交于O ．

(1)、求证： $D F = C E$ ．

(2)、若 $∠ A O B = x$ ，求 $∠ C$ 的度数（用含x的代数式表示）．

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6、

(1)、请你把图1， $∠ A = 24 °$ ， $∠ B = 48 °$ ．将其分割成两个等腰三角形，画出分割线，并在分割后的图中标注两个等腰三角形顶角的度数．

(2)、在图2中画出一个 $△ A B C$ （点C在小正方形的顶点上），使 $△ A B C$ 为等腰三角形．

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7、如图，已知线段 $A C ， B D$ 相交于点E ， $∠ A = ∠ D ， B E = C E$ ，求证： $A B = C D$ ．（完成下面的证明过程）

证明：在 $△ A B E$ 和 $△ D C E$ 中，
${\begin{matrix} ∠ A = ∠ D (已知) \\ ∠ A E B = ∠ D E C () \\ B E = C E (已知） \end{matrix}$
$∠ A = ∠ D (已知)$
$∠ A E B = ∠ D E C$ （）
$B E = C E (已知)$
∴ $△ A B E ≌ △ D C E$ （）
∴ $A B = C D$ （）

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8、如果一条线段将一个三角形分割成 2 个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成 3 个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．

(1)、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 D在 $A C$ 边上，且 $A D = B D = B C$ ，则 $∠ A =$ 度；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 3 3^{°} ， A D$ 和 $D E$ 是 $△ A B C$ 的“好好线”，点 D 在 $B C$ 边上，点 E在 $A C$ 边上，且 $A D = B D$ ， $D E = C E$ ，则 $∠ C$ 的度数为．

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9、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 50 °$ ，将其折叠，使点A落在边 $C B$ 上点 $A^{'}$ 处，折痕 $C D$ ，则 $∠ A^{'} D B$ 的度数为．

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10、命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题。(“真”或“假”)

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11、已知 $△ A B C$ 为等边三角形，则 $∠ A =$ ．

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12、如图， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A C$ 边上，将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折叠至 $△ F D E$ ， $A B$ 与 $F E$ ， $F D$ 分别交于 $G$ ， $H$ 两点．若已知 $A B$ 的长，则可求出下列哪个图形的周长（）

A、四边形 $E D H G$ B、四边形 $A H D E$ C、 $△ F G H$ D、 $△ A G E$

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13、如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB ， AC的垂直平分线分别交BC于点E ， F ，与AB ， AC分别交于点D ， G ，则∠EAF的度数为（）

A、65° B、60° C、70° D、80°

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14、对于命题“如果 $a^{2} = b^{2}$ ，那么 $a = b$ ”，能说明它是假命题的反例是（　　）

A、 $a = 1 ， b = - 1$ B、 $a = 1 ， b = 1$ C、 $a = 2 ， b = - 3$ D、 $a = 0 ， b = 0$

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15、如图，测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C ，测得 $∠ A C B$ 的度数，在 $A C$ 的另一侧测得 $∠ A C D = ∠ A C B$ ， $C D = C B$ ，再测得 $A D$ 的长，就是 $A B$ 的长．其依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A S A$ D、 $A A S$

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16、下列句子是命题的是（）

A、画 $∠ A O B = 45 °$ B、小于直角的角是锐角吗？ C、连接 $C D$ D、三角形的内角和为 $180 °$

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17、三角形的一个外角为 $90 °$ ，则这个三角形一定是（　　）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形

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18、下列长度的线段，能与长度为 $5 c m ， 9 c m$ 的两条线段，首尾相接组成三角形的是（）

A、 $3 c m$ B、 $4 c m$ C、 $8 c m$ D、 $15 c m$

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19、阅读材料：数轴是沟通数与形的重要桥梁，利用数轴可以直观地理解很多代数问题．对于数轴上的两点A ， B ，我们把A ， B两点所表示的数之差的绝对值，叫做A ， B两点之间的距离，记作 $| A B |$ ．例如，数轴上表示2和5的两点之间的距离为 $| 2 - 5 | = | - 3 | = 3$ ；数轴上表示 $- 1$ 和 $- 4$ 的两点之间的距离为 $| - 1 - (- 4) | = | - 1 + 4 | = | 3 | = 3$ ．
完成下列各题∶

(1)、数轴上表示3和 $- 4$ 的两点之间的距离为：；

(2)、①若 $| x - 3 | = 5$ ，则 $x =$ ；
②若数轴上点M表示的数为x ，点N表示的数为 $- 2$ ，点P表示的数为5，且 $| M N | + | M P | = 10$ ，则 $x =$ ；

(3)、 $| x + 2 | + 2 | x - 1 | + 3 | x - 4 | + 4 | x - 7 | + 5 | x - 10 |$ 的最小值为．

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20、已知 $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ …， $\frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$ ．
将以上等式两边分别相加得
$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \frac{1}{9 \times 10} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + … + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$
$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$
$= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
用你发现的规律解答下列问题

(1)、猜想并写出： $\frac{1}{n (n + 1)} =$ $-$ ；

(2)、直接写出下列各式的计算结果：
① $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + . . . + \frac{1}{2024 \times 2025} =$ ；
② $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + ⋯ + \frac{1}{n (n - 1)} =$ ；

(3)、思考并计算： $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + . . . + \frac{1}{2023 \times 2025}$ 的值．

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