山西省太原市华师双语2025-2026学年上学期八年级数学期中考试卷

试卷更新日期：2026-01-25 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每个小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）

1. 下列各图形（含阴影部分）中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（　　）

A、1 B、2 C、4 D、6

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3. 能说明命题“对于任意实数 $a$ ，都有 $a_{}^{2} > 0$ ”是假命题的反例为（）

A、 $a = - 2$ B、 $a = - 1$ C、 $a = 0$ D、 $a = 1$

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4. 若 $a > b$ ，则下列式子中正确的是（）

A、 $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$ B、 $a - 3 < b - 3$ C、 $- 3 a < - 3 b$ D、 $a - b < 0$

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5. 如图，点 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一条直线上， $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ D E F$ ，要使 $△ A B C ≌ △ D E F$ ，则需要再添加的一组条件不可以是（）

A、 $B E = C F$ B、 $∠ A = ∠ D$ C、 $A C = D F$ D、 $∠ A C B = ∠ F$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 5$ ， $D$ 是 $A B$ 边的中点，则 $C D$ 的长是（）

A、4.8 B、5 C、6 D、 $5 \sqrt{3}$

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7. 不等式 $1 - 3 x > - 4 x$ 的解在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A、12 B、9 C、9或12 D、10或12

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9. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索 $A B$ 的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即 $D E = 3$ 米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

A、1米 B、2米 C、3米 D、4米

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10. “勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里德在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，现将 $△ A B C$ 的斜边为边的正方形向上翻转，得到正方形 $A B N M$ ， $E$ ， $M$ ， $D$ 恰好在一条线上， $M N$ 与 $C D$ 交于点 $H$ ，已知 $△ D M H$ ， $△ N H B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，当 $A C = \frac{3}{2} B C$ 时， $S_{2} - S_{1} = 1$ ，则 $A B$ 的值为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{26}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{26}}{5}$

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二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）

11. “ $x$ 与5的差大于 $x$ 的4倍”用不等式表示为.

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12. 如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．已知 $△ A C D$ 的周长是 $13 cm$ ．若 $A C = 5 cm$ ，则 $A B =$ $cm$ ．

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14. 如图，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 平分线上一点， $P N ⊥ O B$ 交边 $O B$ 于点 $N$ ，过点 $P$ 作 $P M ∥ O B$ 交边 $O A$ 于点 $M$ ，若 $P N = 12$ ， $P M = 13$ ，则 $O N$ 的值为．

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15. 如图，斯诺克比赛的桌面（忽略桌边宽度） $A B$ 长 $1.8 m$ ，黑球 $Q$ 距 $A D$ 边 $0.2 m$ ，距 $C D$ 边 $1.5 m$ ，如果黑球 $Q$ 击中桌边 $A D$ ，反弹后恰好进入点 $C$ 所在的洞口，则黑球 $Q$ 运动路线的总长度为 $m$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， $A C = 7$ ． $D$ 是边 $A C$ 上一点，作点 $A$ 关于直线 $B D$ 的对称点 $E$ ，连结 $D E$ ， $B E$ ．若 $∠ E = ∠ E B C$ ，则 $B D$ 的长为．

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三、解答题（本题有7小题，共52分，解答需写出必要的文字说明或演算步骤）

17. 解不等式 $5 x > 3 (x - 2) + 2$ ，并把不等式的解在数轴上表示出来．

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18. 如图，在 $7 \times 6$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上，且 $△ A B C$ 是格点三角形，按下列要求画图．

(1)、在图1中，画出与 $△ A B C$ 全等的格点 $△ A B D$ ．（画出一个即可）

(2)、在图2中，画出与 $△ A B C$ 面积相等，但不全等的格点 $△ A B E$ ．（画出一个即可）

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19. 如图， $∠ A = ∠ B$ ， $A E = B E$ ，点 $D$ 在 $A C$ 边上， $∠ D E C = ∠ A E B$ ， $A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ．

(1)、求证： $△ A E C ≌ △ B E D$ ；

(2)、若 $∠ D E C = 38 °$ ，求 $∠ B D E$ 度数．

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20. 定义：已知 $△ A B C$ 是直角三角形，若存在一条线段将其分割成两个三角形，且这两个三角形中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，则称 $△ A B C$ 为“等直关联三角形”，这条线段称为“等直分割线”．
如图，在等直关联 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上（不与顶点重合），连结 $A D$ ， $A D$ 为“等直分割线”．

(1)、求 $A B$ 的长．

(2)、求 $△ A B D$ 的面积．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A E$ 为 $B C$ 上的中线， $C D ⊥ A B$ ，连结 $D E$ ．

(1)、求证： $△ C D E$ 是等腰三角形．

(2)、若 $A C = 5$ ， $D E = 2$ ，求 $B D$ 的长度．

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22. 【综合实践】阅读下列材料，完成胡老师的两个问题．
数学活动课上，胡老师让学生用一段无弹性绳子沿着三角板的两直角边边缘拉直滑动．如图1，第一次拉成折线 $B A C$ ，且 $A B = A C$ ，第二次拉成折线 $E A F$ ，探究绳子两个端点之间距离的变化情况．

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23. 两个直角三角形如图1摆放， $∠ A O B = ∠ B A C = 90 °$ ， $∠ O A B = 30 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $O B = 6$ ． $P$ 是直线 $O A$ 上的点．

(1)、求线段 $A C$ 的长．

(2)、是否存在点 $P$ ，使得 $△ A B P$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形，若存在，求出 $O P$ 的长；若不存在，请说明理由．

(3)、如图2，若点 $P$ 在射线 $O A$ 上，将线段 $B P$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $B Q$ （如图2），连接 $C Q$ ，则 $C Q$ 的最小值为______（直接写出答案）．

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