浙江省温州市第二中学2026-2027学年九年级上学期第一次阶段性练习数学试卷

试卷更新日期：2026-11-05 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列函数中，属于二次函数的是（ )

A、y=2x-1 B、 $y = x^{2} + 2 x$ C、 $y = \sqrt{x^{2}}$ D、 $y = \frac{3}{x^{2}}$

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2. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3},$ 则 $\frac{b}{a - b}$ 的值是（ )

A、- 2 B、2 C、- 3 D、3

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3. 二次函数y=-2（x-3）²+4的顶点坐标是（　　）

A、（3，4） B、（-3，4） C、（3，-4） D、（-3，-4）

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4. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ，直线AC交l₁ ， l₂ ， l₃于点A， B， C，直线DF交l₁ ， l₂ ， l₃于点D， E，F，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{3},$ 则 $\frac{D E}{D F}$ 的值为（ )

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{7}$ D、 $\frac{7}{4}$

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5. 将抛物线y=x²先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的函数表达式是（　　）

A、y=（x-2）²-3 B、y=（x+2）²-3 C、y=（x-2）²+3 D、y=（x+2）²+3

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6. 将二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 2$ 化成 $y = a {(x - m)}^{2} + k$ 的形式，下列变形正确的是（）

A、 $y = {(x + 1)}^{2} - 1$ B、 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 1)}^{2} - 1$ D、 $y = {(x - 1)}^{2} - 3$

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7. 已知A（-2，y₁），B（4，y₂）是抛物线y=x²-4x+c上的两点，则y₁ ， y₂的大小关系是（　　）

A、y₁＞y₂ B、y₁＜y₂ C、y₁=y₂ D、无法比较

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8. 在菱形ABCD中，AB=10，AE⊥BC于点E，EC=4，连接BD交AE于点F，则AF的长为（　　）

A、4 B、5 C、6 D、4.8

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9. 如图，在△ABC中， BC=6， ∠B=90°，点O为△ABC的重心，作OD⊥AB于点 D，若 $\frac{O D}{B D} = \frac{2}{3},$ 则AO=（ )

A、2 $\sqrt{5}$ B、4 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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10. 二次函数y=ax²+bx-1（a≠0）经过（-2，-1），（-1，-n²+2n-3），则点（a，b）所在的象限是（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 二次函数 $y = 3 x^{2} - 6 x + 1$ 的图象与y轴交点坐标为。

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12. 设计一个矩形窗户，要求宽与长之比为黄金比，当窗户长为2米时，宽为米。

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13. 某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y（万元)关于x的函数表达式为

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14. 二次函数 $y = 2 x^{2} + 4 x + c$ 的图象与x轴有两个交点，则正整数c的值为。

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15. 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若关于x的方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，则常数k的取值范围是 .

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16. 如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，P是BC边上一点，连接DP，作AH⊥DP于点H，作BE⊥AH于点E，作CF⊥BE，交BE的延长线于点F，交DP于G.当AE：EH=3：1，矩形ABCD∽矩形EHGF时，BF：FE的值为 .

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三、计算题：本大题共1小题，共10分。

17. 小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案：如图，已知点A，B，C在同一条直线上，点A，E，D也在同一条直线上，BE⊥AC于点B，DC⊥AC于点 C，小明眼睛到地面高BE=1.5米，且AB=3米，CB=9米。

(1)、求旗杆CD的高度。

(2)、在地面BC上的F处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端D，求此时BF的长。

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四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.

(1)、已知4：3=5：x，求比例式中x的值

(2)、若线段c是线段a，b的比例中项，a=3，b=27，求线段c的长

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19. 已知二次函数. $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过A（0， 5)， B（2，-3)。

(1)、求b， c的值。

(2)、求这个图象的顶点坐标和对称轴。

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20. 如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，连接DE．若 $\frac{C D}{C A} = \frac{C E}{C B} = \frac{3}{5}$ ， DE=6，

(1)、求AB的长

(2)、若△CDE的面积为18，请求出△ABC的面积

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21. 在12×8网格建立平面直角坐标系，已知四点：O（0，0），A（1，2），B（2，0），C（5，1）

(1)、以点O为位似中心，在网格中作△ABC的位似图形△A'B'C'，使△ABC的边长放大到原来的2倍

(2)、某同学在探索“函数y=ax²+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”时分别经过O（0，0），A（1，2），B（2，0），C（5，1）这四个点中的三个点画出二次函数的图象，则选哪三个点的抛物线对应的函数表达式a最小？在O，A，B，C中选择3个填入横线

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22. 如图，已知二次函数y=-x²-2x+3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D在二次函数图象上，且点D与点C关于对称轴对称，一次函数y=kx+b的图象经过B，D两点

(1)、求点B，D的坐标

(2)、根据图象，请直接写出当-x²-2x+3＞kx+b时x的取值范围

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23. 【问题情境】机器狗是现代人工智能机器人的代表，随着科技的进步，它的功能也越来越强大，高端科研机器狗已经实现自主跳跃。实验数据显示：机器狗从水平地面起跳，并落在水平地面，其运动路线类似于抛物线，且起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。一只微型机器狗起跳后的最高点距地面50cm，起跳点与落地点的距离是200cm。
【数学建模】如图1，将这只微型机器狗的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，机器狗在水平地面上的起跳点为O，落地点为M，以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系。
【问题解决】

(1)、请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式。

(2)、如图1，若机器狗从点O正上方的台面点 P（0，22)处起跳，落地点为Q，点Q在x轴的正半轴上，求落地点 Q 到原点的水平距离OQ的长。

(3)、实验表明：机器狗在越过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于4cm才能安全通过。如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为矩形ABCD，AB=38cm，BC=30cm。机器狗从距离AB左侧 130cm的点O处起跳，发现不能跳过障碍物，则机器狗至少要向障碍物前进cm，才能刚好安全通过障碍物。（请直接写出答案)

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24. 已知菱形ABCD中，E，F，H分别是AD，CD，BC边上一点， $A E = C F = \frac{1}{m} A D$ ，连接EF，AH，AF，HF

(1)、如图1，当∠AEF=∠C时，
①求证：∠B=60°．
②当m=3，以A，E，F为顶点的三角形和以F，C，H为顶点的三角形相似时，求AH：AB的值

(2)、如图2，连接BE，EH，记S_四边形_ABHE：S_菱形_ABCD的值为k，当S_△_ABE=S_四边形_EHCF ， 1＜m≤5时，请直接写出k的取值范围．

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