广东深圳市福田区外国语学校2026-2027学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2026-11-03 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分，其中只有一个选项是正确的）

1. 一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，其常数项是（）

A、2 B、-3 C、1 D、-1

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2. 已知a，b，c，d成比例线段.若a=5cm，b=10cm，d=12cm，则c的长为（）

A、2.5cm B、4cm C、6cm D、24cm

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3. 对于一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ ，则该方程根的情况为（）

A、没有实数根 B、两根之和是-2 C、两根之积是-3 D、有两个不相等的实数根

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4. 在下列四个命题中：①所有等腰直角三角形都相似：②所有矩形都相似：③所有正方形都相似：④所有菱形都相似，其中真命题有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段AB=9，则线段BC的长是（）

A、3 B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、6

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6. 如图，棋盘中的各个小正方形的边长均相等，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“师”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）

A、①处 B、②处 C、③处 D、④处

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E为 $B A$ 延长线上一点，F为 $C E$ 的中点，以B为圆心， $B F$ 长为半径的圆弧过 $A D$ 与 $C E$ 的交点G，连接 $B G$ ．若 $A B = 4$ ， $C E = 10$ ，则 $A G =$ （）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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8. 如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE=3BE，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）

9. 已知a是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 5 = 0$ 的一个实数根，则 $2 a^{2} + 6 a$ 的值为.

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10. 如图，在五角星中，C，D两点都是线段AB的黄金分割点，AB=4，则CB的长为.

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11. 如图，DE∥BC，且AD=5，DB=2，△ADE的面积为10，则△ABC的面积为.

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12. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“a*b”： $a^{*} b = a^{2} + a b - b^{2}$ ，例如 $2^{*} 6 = 2^{2} + 2 \times 6 - 6^{2} = 14 .$ 若m、n是方程 ${(x + 1)}^{*} 2 = 0$ 的两根，则 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值为.

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13. 如图，在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD，点E为CD中点，连接BE，已知BC=CD=4，∠ACD=∠EBD，若 $B E = 3 \sqrt{2}$ ，则AB的长为.

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三、解答题（本大题共7小题，第14、15题8分，第16题7分，第17、18题9分，第19、20题10分，共61分）

14. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x = 0$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0 .$

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作EF⊥AC交边AB、CD于点E、F，并连接AF、CE.

(1)、求证：四边形AECF为菱形；

(2)、若四边形ABCD为矩形，AD=2，CD=4，求EF的长.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点分别为A（-2，-1），B（-4，-3），C（-1，-5）.

(1)、以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A₁B₁C₁ ，请在第一象限内画出△A₁B₁C₁；

(2)、边AB上有一点M（a，b），在边A₁B₁上与点M对应的点M₁的坐标是；

(3)、 △A₁B₁C₁的面积是.

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17. 某校九年级（1）班同学利用可伸缩的标杆和卷尺测量物体高度，请你帮助同学们完成计算：

(1)、如图1，若垂直于地面的标杆OP=3米，它的影长OG=1.5米，同一时刻，测得信号塔MN的影长HN=8.5米，求信号塔的长度；

(2)、如图2，同学们继续测量电线杆AB的高度，具体操作如下：
①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE=3米；
②把标杆缩短为1.5米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF=2米.
请结合以上测量数据，求出电线杆AB的高度。

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18. 某商家为深圳APEC会议提供制作纪念品所需的环保树脂.今年三月份该环保树脂供应128千克，四、五两个月供应量的月平均增长率相同，五月份供应量达到200千克.

(1)、求四、五两个月供应量的月平均增长率；

(2)、从六月起，该商家将同款环保树脂面向其他生产商供货，采用降价促销方式.经调查，每千克降价1元，月供应量增加5千克.已知该环保树脂每千克盈利15元，且以五月份供应量200千克为基准.当每千克降价多少元时，供应商六月份能获利2250元?

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19. 阅读与应用：对于两个正实数a，b（a>0、b>0），同学们已经知道 ${(a - b)}^{2} \geq 0 .$ 即 $a^{2} - 2 a b + b^{2} \geq 0,$ 所以 $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ （当且仅当a=b时取等号）
阅读1：对于两个正实数a，b， $∵ {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0, ∴ a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0, ∴ a + b \geq 2 \sqrt{a b} .$ （当且仅当a=b时取等号）
阅读2：当a为正数时，两数a和⁹/a均为正数，且 $a \cdot \frac{9}{a} = 9$ （常数），则有 $a + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{9}{a}} = 2 \times \sqrt{9} = 6 .$ （当且仅当 $a = \frac{9}{a},$ 即a=3时取等号）
请阅读并理解上述内容，尝试应用以上结论完成下列问题：

(1)、已知m为正实数，即m>0，则 $m + \frac{25}{m}$ 的最小值为； $\frac{m^{2} - 3 m + 4}{m}$ 的最小值为.

(2)、我校生物科组需要建成如图1所示的面积为27m²的生物园地，一面利用墙体，其余各边用围栏围成，中间用围栏隔开，请你帮生物老师计算下至少需要多少米的围栏?

(3)、如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别是4 $\sqrt{2}$ 和2 $\sqrt{2}$ ，则四边形ABCD面积的最小值为.

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20. 探究小组的同学运用等腰直角三角形与正方形作探究，如图1，已知AB=BC，∠ABC=90°，正方形DEFG边长为4cm，当△ABC的顶点A置放在DF的中点O时，顶点B恰落在F上.

(1)、【探究一】△ABC的面积为cm²；

(2)、【探究二】如图2，探究小组让△ABC沿FD方向滑动，点A从F点出发到D点终止，运动的速度为1cm/s，设运动的时间为ts，请直接写出两个图形公共部分面积S与t之间的关系式；

(3)、【探究三】如图3，探究小组让A点落在O点并以A点为旋转中心旋转△ABC，AC、AB与边GF相交于点M、N，若MN= $\frac{5}{3}$ cm，求GN的长度.

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