广东省深圳市龙岗区园山实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

试卷更新日期：2026-11-02 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共24 分。在每小题的四个选项中，只有一个最符合题意)

1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ )

A、 $x^{2} - 1 = 2 x$ B、 $x^{3} + 2 x^{2} = 0$ C、 $x^{2} + \frac{2}{x} = 0$ D、 $x^{2} - y + 1 = 0$

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2. 关于x 的一元二次方程 $k x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个实根，则k 的取值范围是（ )

A、k≥-4 B、k≥4 C、k>-4 D、k≥-4且k≠0

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3. 若x₁ ， x₂是方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $2 x_{1} + x_{1} x_{2} + 2 x_{2}$ 的值为（ )

A、- 9 B、- 1 C、1

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4. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）

A、27° B、53° C、57° D、63°

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5. 下列四个命题中真命题是（）

A、对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B、对角线垂直且相等的四边形是菱形 C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D、四边都相等的四边形是正方形

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6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m².求车道的宽度（单位：m).设停车场内车道的宽度为 xm，根据题意所列方程为（ )

A、（40-2x)（22-x)=520 B、（40-2x)（22-2x)=520 C、（40-x)（22-x)=520 D、（40-x)（22+x)=520

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7. 如图，以矩形ABCD 的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB 的延长线于 E；过点D作 DF∥AE 交BC 于点 F，连接AF. AB=4，AD=5，则AF的长是（，

A、2 $\sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、3 D、3 $\sqrt{3}$

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8. 如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形ABCDEFGH，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形 JKMN，放在正八边形内部，MN与BA 重合，L为EF的中点，连接LK.将正方形JKMN绕点A 顺时针旋转45°， JN与HA 重合，此时LK的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共15 分。把答案直接填在答题卡相应的位置上)

9. 关于x的方程 $x^{2} - 2 x + 3 m = 0$ 的一个根为3，则 $m =$ ．

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10. 如图，菱形 ABCD 的周长为20，对角线 BD=6，则菱形ABCD 的面积为.

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11. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛)，已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有支

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12. 如图，三个边长均为 $2$ 的正方形重叠在一起， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是．

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13. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E为AB的中点，G为射线AB上一动点，F为DG 的中点，若直线 EF⊥直线 CG，则AG==

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三、解答题（本题共 7 小题, 14题8分,15题6分, 17题8分, 18题 9分, 19题10分, 220-题12分, 共61分)

14. 用合适的方法解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 4 = 0;$

(2)、 $2 y^{2} - 5 y + 2 = 0;$

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15. 如图，AD是△ABC的角平分线，请用尺规作图法，求作菱形AEDF，使得点E、F分别在边AB、AC上.（保留作图痕迹，不写作法)

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16. 已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 $x^{2} - m x + \frac{m}{2}$ $- \frac{1}{4} = 0$ 的两个实数根.

(1)、当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；

(2)、若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少?

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17. 如图，在Rt△ACE 中， ∠ACE=90°，点D是AE的中点，连接CD，过点C作CB∥AE，过点A 作AB∥CD， CB， AB交于点B，连接BD.

(1)、求证：四边形 ABCD 是菱形；

(2)、连接BE 交AC于点G，交CD于点 F，若BD=BC， CD=4，求OG的长

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18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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19. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.
我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （a，b是整数)的形式，则称这个数为“完全数”.例如，10是“完全数”.理由：因为 $10 = 3^{2} + 1^{2} .$ 再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}$ $= {(x + y)}^{2} + y^{2} (x, y)$ 是整数)，所以M也是“完全数”.
解决问题：

(1)、请你再写一个小于10的“完全数”；并判断40是否为“完全数”；

(2)、若二次三项式 $x^{2} - 4 x + 8$ （x整数)是“完全数”，可配方成 ${(x - m)}^{2} + n^{2}$ （m， n为常数) ，则 mn的值为；

(3)、探究问题：已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 12 y + k$ （x， y是整数，k是常数)，要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值.

(4)、拓展结论：已知实数x，y满足 $- x^{2} + 3 x + y - 2 = 0,$ 求x+y的最小值是

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20. 综合与探究
问题情境：如图1，正方形ABCD与正方形CEFG 的点C重合，点E 在CD边上，点G在 BC边的延长线上. 连接AF，取AF 的中点M，连接DM， EM.

(1)、观察发现：请写出 DM与EM的数量关系位置关系并证明.

(2)、操作探究：将正方形CEFG 绕点C逆时针旋转一周.
在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立?请就图2说明理由；

(3)、在旋转过程中，当点D， E， F在同一条直线上时，若AB=13， CE=5，请直接写出线段 AF的长.

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