四川成都市成华区成都七中英才学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

试卷更新日期：2026-10-30 类型：月考试卷

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一、单选题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)

1. 下列方程是一元二次方程的是（　　）

A、y+1=0 B、 $\frac{1}{y}$ -2x=0 C、x²-2x+1=0 D、2x³-1=3

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2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A、对角线相等 B、内角和为360° C、两组对边分别平行 D、对角线互相平分

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3. 若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：3，则S_△ABC：S_△DEF为（　　）

A、1：3 B、1：9 C、1： $\sqrt{3}$ D、2：6

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4. 如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC， BD 相交于点 O， AB=5.若∠BAD=120°，则 AC的长是（ )

A、2.5 B、5 C、6 D、10

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5. 已知关于x的方程x²-6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（　　）

A、8 B、4 $\sqrt{6}$ C、9 D、10

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6. 若y=(a-4)x^|a|-2+7x-5是二次函数，则a的值为（　　）

A、-4 B、4 C、±4 D、±2

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7. 如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=2，且AP>BP，则AP的长为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ -1 B、 $\sqrt{5}$ +1 C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、3- $\sqrt{5}$

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8. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么a₁ ， a₂ ， a₃的大小关系是( )

A、 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ B、 $a_{3} < a_{1} < a_{2}$ C、 $a_{3} < a_{2} < a_{1}$ D、 $a_{2} < a_{3} < a_{1}$

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二、填空题(每小题4分，共20分)

9. 方程x(x-2025)=0的解是．

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10. 二次函数 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ 的顶点坐标是.

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11. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为．

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12. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F．若AB=6，BE=8，AD=12，则DF= ．

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13. 等腰三角形的一边长是3．另两边的长是关于x的方程x²-10x+k=0的两个根．则k的值为．

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三、解答题(本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上)

14. 解方程：

(1)、x²+8x=9（用配方法解）；

(2)、3x²-5x=2（用公式法解）；

(3)、(x-4)²=9；

(4)、(x-3)²=2x+6．

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15. 已知函数y=(m^²+m)x^m²-2m-1+(m-3)x+m^²-11是关于x的二次函数．

(1)、求m的值；

(2)、写出二次项系数、一次项系数及常数项．

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16. 已知关于x的一元二次方程x²+(k+4)x+2k=0．

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若x₁、x₂是方程的两根，且x₁-x₂-3x₁x₂=17，求k的值．

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17. 如图，在四边形ABCD中， ∠BCD=90°， E是AB的中点， AC、DE交于点F， AF=FC，BF∥CD.

(1)、求证：四边形BCDF为矩形；

(2)、若CD=DE=3，求AB的长.

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18. 我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是180°，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系．
如图1，∠ABC=90°，D是边BC上一点，∠ADE=90°，则∠A+∠ADB+90°=180°，∠ADB+∠CDE+90°=180°，故∠CDE=∠A．

(1)、如图2，D是BC上一点，∠ADE=∠B，则图中另一组等角是；

(2)、如图3，正方形ABCD中，M在BC延长线上，E是BC上一点，EF⊥AE于点E，且EF=AE，连接CF．求证：CF平分∠DCM；

(3)、平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=6，BC=8．
①如图4，点E、F分别在边BC和DC上，∠AEF=120°．若AE/EF=3，求BE的长度；
②如图5，点E、F分别在边BC和DC延长线上，∠AEF=60°．若AE/EF=3，请直接写出BE的长度为．

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四、B卷填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)

19. 若关于x的一元二次方程ax²-3x+4=0有两个相等的实数根，则a的值为．

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20. 如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积S₁ ， S₂ ， S₃分别是1，4和16，则△ABC的面积是．

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21. 若a是方程x²-x-1=0的一个根，则-a²+2a+2020的值为．

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22. 若 $\frac{3 x + 3 y}{z} = \frac{3 y + 3 z}{x} = \frac{3 z + 3 x}{y} = m$ ，则m= ．

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23. 如图，在△ABC中，∠ACB=45°，点D在AB上，点E在AC的延长线上，ED⊥AB，ED交BC于点F，AB=DF，3DF=5EF，CF=1，则AC= ．

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五、解答题(本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上)

24. 春节期间超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，第一周销售256件．第二周、第三周该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到400件．

(1)、求第二周、第三周这两周销售量的周平均增长率；

(2)、经市场预测，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，周销量增加5件，当商品降价多少元时，商场第四周可获利4250元？

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25. 在平面直角坐标系中，已知点M不与原点重合，对于点P给出如下定义：点P关于点M的对称点为P^' ，点P^'关于直线OM的对称点为Q，称点Q是点P关于点M的“双称点”．

(1)、已知点M（m，0），P（m+4，1），点Q是点P关于点M的“双称点”．
①当m=3时，则点Q的坐标为；
②试判断PQ的长度是否为定值，若是，请求出PQ的长；若不是，请用m的代数式表示；

(2)、若点M（2，n），P（0，2n），其中n>0，点Q是点P关于点M的“双称点”，则当P、Q、M三点构成的三角形为等边三角形时，求出n的值；

(3)、已知点A（3，4），△ABC是边长为2的等边三角形（点A、B、C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“双称点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当BN最大时，直接写出此时OB的长．

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26. 如图1，已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EDC=90°，AB=4，DE=2．将△DEC绕点C旋转，使得点E落在△ABC内部，连接AD，BE．

(1)、求证：△ACD∽△BCE；

(2)、如图2，当AD∥EC时，求BE的长；

(3)、如图3，延长BE交线段AD于点F，若AF=2DF，求 $\frac{B E}{E F}$ 的值．

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