广东深圳市高级中学北校区2026—2027学年八年级上学期数学第一次周测

试卷更新日期：2026-10-28 类型：月考试卷

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一、选择题（共7小题，每小题4分)

1. 下列各组数是勾股数的是（）

A、2，1，5 B、15，8，17 C、 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{5}$ D、 $\frac{3}{7}$ ， $\frac{4}{7}$ ， $\frac{5}{7}$

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2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ )

A、 $\sqrt[3]{8}$ B、 $\sqrt{- 3}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{a}$

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3. 下列计算正确的是（ )

A、 $\sqrt[3]{8}$ $= \pm 2$ B、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ C、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2$ D、 $\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}} = - 1$

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4. 已知 $\sqrt{0.05} \approx 0.2236, \sqrt{0.5} \approx 0.7071, \sqrt{5} \approx 2.236, \sqrt{50} ≃ 7.071,$ 则 $\sqrt{500} \approx$ （）

A、22.36 B、223.6 C、70.71 D、707.1

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5. 下列命题中错误的是（ )

A、若 $\sqrt{x^{2}} = 5,$ 则x=5 B、若a（a≥0)为有理数，则 $\sqrt{a}$ 是它的算术平方根 C、化简 $\sqrt{{(3 - π)}^{2}}$ 的结果是π-3 D、若二次根式 $\frac{2}{\sqrt{x + 1}}$ 有意义，则x的取值范围为x>-1

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6. 如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是（ )

A、 $\frac{2}{5} \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{5} \sqrt{10}$

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7. 在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（　　）

A、一定不会 B、可能会 C、一定会 D、以上答案都不对

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二、填空题（共4小题，每小题4分)

8. $\frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}} =$ .

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9. 实数2 $\sqrt{3}$ 的整数部分为.

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”. 当AC=8，BC=6时，阴影部分的面积为.

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11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2. 点D在边 BC上，以AD为腰作等腰直角三角形，使∠DAE=90°，AD=AE.若点 D 由点B 运动到 BC的三分之一处停止，则点E运动的路程为.

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三、解答题（共4题, 12题每个计算4分, 13题: 3分+3分+4分, 14题: 5分*3, 15题3分+3分+5分+4分)

12.

(1)、求x的值. $16 x^{2} - 25 = 0;$

(2)、计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + \sqrt[3]{- 8} - \sqrt{{(- 2)}^{2}} + ∣ 1 - \sqrt{2} ∣;$

(3)、 $(3 \sqrt{12} - 2 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3} .$

(4)、 $(2 \sqrt{5} - \sqrt{7}) (2 \sqrt{5} + \sqrt{7}) - {(\sqrt{5} - 3)}^{2};$

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13. 操作与探究

(1)、图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线)，请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形.

(2)、如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c.请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理.

(3)、应用：测量旗杆的高度
校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米.请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题.（画出示意图并计算出这根旗杆的高度)

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14. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”.例如：-1，-4，-9这三个数， $\sqrt{(- 4) \times (- 1)} = 2, \sqrt{(- 9) \times (- 1)} = 3,$ $\sqrt{(- 9) \times (- 4)} = 6,$ 其结果2，3，6都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为一组“最美组合数”.

(1)、-4，-9，-16这三个数是一组“最美组合数”吗?请说明理由；

(2)、若三个数-3，m，-12是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18.求m的值；

(3)、结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明.

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15. 回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一.历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜.
【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究.他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c)拼成如图1所示的图形.从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积=4个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式 ${(a + b)}^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} a b + c^{2},$ 化简证得勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$
【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题：

(1)、如图1，若b=2a，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于.

(2)、如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果a=3，b=5，那么空白部分的面积等于.

(3)、如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线)的周长为28，OC=2，求该风车状图案的面积.

(4)、【迁移运用】如图4，用三张含60°角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含 60°角的三角形三边a、b、c之间的关系吗?
请直接写出此等量关系式：.（知识补充：如图5，含60°角的直角三角形，对边y：斜边x=定值k.)

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