浙江省绍兴市元培中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

试卷更新日期：2026-10-27 类型：月考试卷

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一、选择题(每题3分，共30分)

1. 二次函数 $y = - 3 {(x + 2)}^{2} - 1$ 的顶点坐标是( )

A、(2， 1) B、(2，-1) C、(-2，1) D、 (-2，-1)

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2. 一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）

A、摸到红球是必然事件 B、摸到白球是不可能事件 C、摸到红球与摸到白球的可能性相等 D、摸到红球比摸到白球的可能性大

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3. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于两点(-1，0)，(3，0)，则抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为( )

A、直线x=-1 B、直线x=1 C、直线x=2 D、直线x=-2

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4. 我校准备组织红色研学活动，需要从鲁迅故里、周恩来纪念馆、秋瑾故居、绍兴博物馆四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中周恩来纪念馆教育基地的概率是( )

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线表达式是( )

A、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} - 3$ B、 $y = 2 {(x - 2)}^{2} + 3$ C、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} - 3$ D、 $y = 2 {(x + 2)}^{2} + 3$

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6. 已知A(0， y₁)， B(1， y₂)， C(4， y₃) 是抛物线 $y = x^{2} - 3 x + c$ 上的三点，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为( )

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$

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7. 小明在中考体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的表达式为 $y = - \frac{1}{9} {(x - 3)}^{2} + k,$ 其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A为 $(0, \frac{16}{9}),$ 则实心球飞行的水平距离OB 的长度为 ( )

A、7m B、7.5m C、8m D、8.5m

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8. 如图是小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数 $h = - 4.9 t^{7} + 3.5 t$ (t的单位： s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间约是( )

A、0.71s B、0.70s C、0.63s D、0.36s

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9. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是（）

A、当x≥1000时， y随x的增大而减小 B、当x=2000时， y有最大值 C、当y≥0.6时， x≥1000 D、当y=0.4时， x=600

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10. 如图，在菱形ABCD中， ∠A=60°， AB=4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形(即阴影部分)的面积为y，点E运动的路程为x(x>0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是( )

A、 B、 C、 D、

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二、填空题(每题3分，共18分)

11. 一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6.抛掷这枚骰子，则朝上一面所标的数字为奇数的概率为.

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12. 工厂对某批零件进行质检，结果如表：
抽取的零件数
100
200
300
500
1000
2000
3000
优等品的频数
91
189
277
466
929
1862
2789
优等品的频率
0.9100
0.9450
0.9233
0.9320
0.9290
0.9310
0.9297
从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为(结果精确到0.01).

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13. 已知二次函数. $y = a x^{2} + b x + c$ 中的 x、y满足下表：
x
-2
-1
I
3
4
5
y
-5
0
4
0
m
-12
，则m 的值为.

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14. 如图，抛物线 $y_{1} = a x^{2} + c$ 与直线 $y_{2} = m x + n$ 交于A(-1，p)， B(3，q)两点，当 $y_{1} > y_{2}$ 时，则x的取值范围是.

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15. 抛物线 $y = x^{2} - 4 x - 5,$ 当-3≤x≤4时，y的取值范围是.

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16. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ (a， b，c为常数， a≠0) 的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是(-1，0)，对称轴直线x=1， 2<c<3，有下列结论：①abc<0；②4a+c>2b： ③关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解是 $x_{1} = - 1, x_{2} = 2 : ④ - 1 < a < - \frac{2}{3}; ⑤ 4 a c - 8 a < b^{2} .$
其中正确的有.(填序号)

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三、解答题(第17-21题每题8分, 第22-23题每题10分, 第24题12分, 共72分)

17. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + 3$ 图象经过点 (1， 0).

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、当x取何值时，抛物线在x轴的下方?

(3)、当x取何值时，y随x的增大而增大?

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18. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3 .$

(1)、求二次函数与坐标轴的交点坐标；

(2)、求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；

(3)、不解方程，利用此二次函数的图象，直接写出方程 $x^{2} - 2 x = 4$ 的近似根.(精确到0.1)

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19. 现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球.其中，A袋装有1个白球，2个红球；B袋装有1个红球，2个白球.

(1)、将A袋摇匀，然后从A袋中随机摸出一个球，则摸出的小球是红球的概率为；

(2)、小王和小周商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中各随机摸出一个球，摸出的这两个球，若颜色相同，则小王获胜；若颜色不同，则小周获胜.请利用概率说明这个游戏规则是否公平.

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20. 定义：若点P，Q在同一抛物线上，且点 Q 的横坐标比点 P的横坐标大3，则称点 Q 是点 P的“黄金搭档点”.例如，抛物线 $y = x^{2}$ 上. 点(3，9) 是点 (0，0) 的“黄金搭档点”.

(1)、点A (0，-3) 和点 B 在抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 上，点B 是点 A 的“黄金搭档点”，且点 B 的纵坐标为12，求b，c的值：

(2)、点M，N在(1)中的抛物线上，且点 N是点 M的“黄金搭档点”.若点 M，N的纵坐标相等，求点 M，N的横坐标.

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21. 如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏图成一个矩形自行车场地ABCD，AD≤AB，所用铁栅栏的长为42米，在AB边有一个2米宽的小门(不用铁栅栏)，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米.

(1)、求S与x的函数表达式，并求自变量x的取值范围；

(2)、若围成的矩形场地的面积为192平方米，求边AD 的长；

(3)、要使围成的矩形场地的面积最大，求边AD 的长及面积的最大值.

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22. 为弘扬绍兴地方文化，让更多游客了解绍兴古城，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.

(1)、设该款小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件：

(2)、为让利于游客，该款小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；

(3)、文旅公司每天售卖该款小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少?

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23. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 m x + 3 - 2 m$ (m为常数).

(1)、若图象经过点 (2， 3)，求m的值；

(2)、求证：二次函数与x轴有两个交点；

(3)、当-1≤x≤2时，若y的最大值是5，求m的值.

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24. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过B(1，0)， (C(0，-3)两点.

(1)、求二次函数的表达式：

(2)、点P在直线AC下方的抛物线上运动，求△APC面积的最大值及点 P的坐标；

(3)、动点Q为抛物线对称轴上一点，连接QA，将线段QA绕点Q 旋转90°，使点A 的对应点 D恰好落在抛物线上，请直接写出点Q的坐标.

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抽取的零件数	100	200	300	500	1000	2000	3000
优等品的频数	91	189	277	466	929	1862	2789
优等品的频率	0.9100	0.9450	0.9233	0.9320	0.9290	0.9310	0.9297

x	-2	-1	I	3	4	5
y	-5	0	4	0	m	-12