苏科版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：第1-3章）

试卷更新日期：2026-10-20 类型：期中考试

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一、选择题(本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)

1. 中国声谷是合肥高新区的国家级人工智能产业基地，是合肥“科创名城”的核心名片．在2025年“中国声谷杯”全国大学生人工智能创新大赛的初赛阶段，参赛的每两个队伍之间都需要进行一场项目路演答辩（单循环赛制），共进行了105场比拼．设共有 $x$ 个队伍参加初赛，则下列方程符合题意的是（）

A、 $x (x + 1) = 105$ B、 $x (x - 1) = 105$ C、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 105$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 105$

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2. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ，将其化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 4$

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3. 在综合实践课上，小明利用恒定的压力 $F (N)$ 测定压强 $P (Pa)$ 与受力面积 $S (m^{2})$ 的关系．经测定，当 $S = 0.5 m^{2}$ 时， $P = 20 Pa$ ，则 $P$ 与 $S$ 之间的函数图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知点 $A (- 2, y_{1})$ ， $B (- 1, y_{2})$ ， $C (3, y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{k^{2} + 1}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系正确的是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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5. 关于 $x$ 的一元二次方程的新定义：若关于 $x$ 的一元二次方程： $a_{1} (x - m)^{2} + n = 0$ 与 $a_{2} (x - m)^{2} + n = 0$ ，称为“同族二次方程” $．$ 如 $2 (x - 3)^{2} + 4 = 0$ 与 $3 (x - 3)^{2} + 4 = 0$ 就是“同族二次方程” $．$ 现有关于 $x$ 的一元二次方程： $2 (x - 1)^{2} + 1 = 0$ 与 $(a + 2) x^{2} + (b - 4) x + 8 = 0$ 是“同族二次方程” $．$ 那么代数式 $a x^{2} + b x + 2031$ 能取的最小值是（）

A、 $2026$ B、 $2023$ C、 $2028$ D、 $2025$

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6. 如图，北京市某处 $A$ 位于北纬 $40 °$ （即 $∠ A O C = 40 °$ ），东经 $116 °$ ，三沙市海域某处 $B$ 位于北纬 $15 °$ （即 $∠ B O C = 15 °$ ），东经 $116 °$ ；设地球的半径约为 $R$ 千米，则在东经 $116 °$ 所在经线圈上的点 $A$ 和点 $B$ 之间的劣弧长约为（）

A、 $\frac{5}{72} π R$ （千米） B、 $\frac{1}{12} π R$ （千米） C、 $\frac{5}{36} π R$ （千米） D、 $\frac{2}{9} π R$ （千米）

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7. 小明用一把含 30°角的三角板测量圆的半径长，有如下两种方法：①如图 1，30°角的顶点在圆上，弦AB的长即为圆的半径长，②如图2，直角顶点在圆上，弦CD长的一半即为圆的半径长，则下列判断正确的是（）

A、①正确， B、错误B. ①错误，②正确 C、①②都正确 D、①②都错误

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8. 如图，AB为圆O的弦，C是弧AB的中点，连结AC并延长，OB是⊙O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC.给出下列结：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则 $B D^{2} + C D^{2} = A C^{2} .$ 其中正确的是（）

A、①，②都对 B、①对，②错 C、①错，②对 D、①，②都错

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二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)

9. 已知函数 $y = (m^{2} + 2 m - 3) x^{| m | - 2}$ 是反比例函数，则 $m =$

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10. 已知点 $A (m, 6)$ 、 $B (- 4, n)$ 均在反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象上，则 $m + n$ 的值为．

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11. 对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程Max{x，-x}=x²-2的解为.

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12. 为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中 $a$ 的值为.

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13. 平面上有⊙O及⊙O内一点P，P到⊙O上一点的距离最长为10cm，最短为4cm，则⊙O的半径为cm.

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14. 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为 $5 c m$ ，液面宽 $A B$ 的长为 $8 c m$ ，则瓶内液体最大深度为 $c m$ ．

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15. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高 $y$ （单位： $cm$ ）与物距（小孔到㛭烛的距离） $x$ （单位： $cm$ ）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于 $4 cm$ ，求小孔到蜡烛的距离至多是 $cm$ ．

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16. 我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形 $A B C D$ 的中心重合，分别延长 $A D$ ， $D C$ 交 $⊙ O$ 于点E，F．若 $⊙ O$ 的半径为2，正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $E F =$ ．

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三、解答题(本大题共11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 将图中的破轮子复原，已知弧上三点 $A, B, C$ ，用尺规画出该轮子的圆心．

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18. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0;$

(3)、（4-x)x=（4-x)

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19. 一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB=16m，拱顶到水面的距离CD=4m，

(1)、求拱桥的半径；

(2)、如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由.【温馨提示：就是利用垂径定理加勾股定理思考弓形ABC内能否放下一个两边长为12和3的矩形】

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx－2与y轴相交于点A，与反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．

(1)、求直线AB的表达式；

(2)、将直线AB沿y轴方向向上平移n个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若 $S_{Δ A B C} \leq 18$ ，请求出n的取值范围．

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21. 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为________．
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及 $\overset{⌢}{A C}$ 的长；
（3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系．

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22. 自5月10日“苏超”开赛以来，江苏各市文旅不断推动观赛体验与文化体验紧密串联，有效带动了江苏文旅消费．某旅行社推出了“跟着苏超去旅行”活动，现要对活动方案进行升级，需要对定价和报名人数进行调研．

“跟着苏超去旅行”的活动调研
素材1	6月份，报名参加“跟着苏超去旅行”活动的人数有1500人，随着“苏超”热度不断提升，8月份的报名达到2160人．
素材2	经过研讨，旅行社初步制定方案为：30人起组团；每人团费900元．
素材3	在统计游客的反馈后，发现每人团费每下降10元，平均每个团报名的人数会增加1人，但每人团费不低于750元．
问题解决
任务1	确定增长率	求从6月份到8月份“跟着苏超去旅行”活动报名人数的平均增长率．
任务2	拟定价格方案	若旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费．

请完成“问题解决”中的任务1和任务2．

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23. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m + 10 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、已知等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C = 4$ ，若 $x_{1}, x_{2}$ 恰好是 $△ A B C$ 另外两边的边长，求这个三角形的周长．

(3)、阅读材料：若 $△ A B C$ 三边长分别为 $a, b, c$ ，则 $S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，这就是海伦—秦九韶公式，如图，在（2）的条件下，若其中 $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的角平分线交于点 $I$ ，试利用阅读材料中的信息，求 $△ B I C$ 的面积．

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24. 阅读与思考

下面是小天同学学习了“反比例函数的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务.

已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)满足 $I = \frac{U}{R}$ 的反比例函数关系，它的图象如图所示. 问题一：请写出这个反比例函数的表达式： ▲ .
问题二：如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过12A，那么该用电器变阻器的阻值应控制在什么范围?
方法	分析问题	解答过程
解法一	$I = \frac{U}{R}$ 中，电流I≤12，可以得到关于R的不等式并求解.	解： ∵ $I =_____$ ，且I≤12， ∴ $____$ ≤12， ∵R>0， ∴12R≥■， (依据： ★ ) ∴ ●
解法二	由 $I = \frac{U}{R},$ 可以求出当电流I=12时相应的R值，再通过反比例函数的增减性求R的取值范围.	提示：解答在答题卷上.

任务：

(1)、问题一中反比例函数的表达式为；

(2)、问题二中■表示：， ★表示：， ●表示：；

(3)、完成问题二中解法二的解答过程.

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25. 数学兴趣小组对面积为9的矩形，其周长m的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决：

(1)、建立函数模型.  设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得 $x y = 9$ ，即 $y = \frac{9}{x}$ ，由周长为m，得 $2 (x + y) = m$ ，即 $y = - x + \frac{m}{2}$ 满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第象限内交点的坐标.

(2)、画出函数图象.  函数 $y = - \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象如图所示，而函数 $y = - x + \frac{m}{2}$ 的图象可由直线 $y = - x$ 平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线 $y = - x$ .

(3)、观察函数图象．
平移直线y=-x，
①当直线平移到与函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象有唯一交点(3，3)时，周长m的值为     ；
②在直线平移过程中，直线与函数 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围。

(4)、得出结论．面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为．

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26. 定义：若一个圆的内接三角形的内心关于这个三角形一条边的对称点恰好在该圆上，则称这个三角形为该圆的“梦之三角形”．

(1)、如图1，等边 $△ A B C$ 为 $⊙ O$ 的内接三角形，过点O做 $O E ⊥ B C$ 交 $B C$ 于点D，交 $⊙ O$ 于点E，判断 $△ A B C$ ________（填“是”或“不是”） $⊙ O$ 的“梦之三角形”，请说明理由；

(2)、如图2，已知 $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的“梦之三角形”，其内心I关于 $B C$ 的对称点F在 $⊙ O$ 上，若 $B C = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、如图3，已知 $⊙ O$ 的半径为 $7 \sqrt{3}$ ，弦 $B C = 24$ ，点A在 $⊙ O$ 上，若 $△ A B C$ 为 $⊙ O$ 的“梦之三角形”，求 $A C$ 的长度．

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