湘教版数学八年级上册期中仿真模拟题（二）[范围：第1-3章]

试卷更新日期：2026-10-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知a，b满足等式， $x = 4 a^{2} - 12 a b + 9 b^{2}$ ， $y = 8 a - 12 b - 4$ ，则x，y的大小关系是（）

A、 $x \leq y$ B、 $x < y$ C、 $x > y$ D、 $x \geq y$

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2. 计算 $\frac{x^{2}}{x - 2} - \frac{4 x - 4}{x - 2}$ 的结果是（）

A、 $1$ B、 $2 - x$ C、 $x + 2$ D、 $x - 2$

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3. 若二次根式 $\sqrt{a - 3}$ 在实数范围内有意义，则实数a的值可以是（）

A、5 B、-2 C、0 D、-3

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4. 某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m²-n²）-8y（m²-n²）.已知密码手册的部分信息如下表示：
密文
…
m-n
m+n
x-y
x+y
8
x
…
明文
…
福
爱
田
外
我
幸
…
把密文8x（m²-n²）-8y（m²-n²）用因式分解解码后，明文可能是（　　）

A、我爱福田 B、我爱福外 C、我爱幸福 D、幸福福田

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5. 如果关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 - m}{x - 3} - 1 = \frac{2 x}{3 - x}$ 的解为正数，那么实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 5$ 且 $m \neq 8$ B、 $m > 1$ 且 $m \neq 7$ C、 $m > 5$ D、 $m < 5$ 且 $m \neq - 4$

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6. 已知a+b=3，3a-2c=2，则9a（a+b）-6c（a+b）的值为（）

A、6 B、8 C、12 D、18

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7. 定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如， $13 = 7^{2} - 6^{2}$ ，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（）

A、12是智慧数 B、代数式 $a^{2} - 2 a b$ （ $a ， b$ 是正整数）是智慧数的条件是 $a \geq 2 b$ C、所有大于1的奇数都是智慧数 D、将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16

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8. 下列说法中，正确的个数是（　　）
① 若 $| \frac{1}{a} | = \frac{1}{a}$ ，则 $a \geq 0$ ；
② 若 $| a | > | b |$ ，则 $(a + b) (a - b)$ 是正数；
③ A、B.、C三点在数轴上对应的数分别是-2、x、6，若相邻两点的距离相等，则x=2；
④ 若代数式 $2 x + | 9 - 3 x | + | 1 - x | + 2011$ 的值与 $x$ 无关，则该代数式的值为 $2021$ ；
⑤ $a + b + c = 0$ ， $a b c < 0$ ，则 $\frac{b + c}{∣ a ∣} + \frac{a + c}{∣ b ∣} + \frac{a + b}{∣ c ∣}$ 的值为 $\pm 1$ 。

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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9. 若 $a^{2} + b^{2} = 4, \sqrt{a b^{2} - 2 a b + 2 b^{2} - 8 a - 4 b - 16} + | b^{2} + 2 b + 9 |$ 的值为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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二、填空题

10. 若多项式 $x^{2} - 3 x + k$ 的一个因式是 $x - 2$ ，则k的值为.

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11. 已知m，n均为正整数，且 $M = m^{2} + 9, N = {(n + 1)}^{2} + 100 .$ 若M=N，则 nm的值为。

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12. 关于x的分式方程 $\frac{2 - x}{x - 3} = \frac{a}{3 - x} - 2$ 有增根，则a的值是．

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13. 某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m笔交易中，手机支付笔数占80%；乙店n笔交易中，手机支付笔数占90%.该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所占的比例是.

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14. 已知a、b为有理数，m、n分别表示 $\sqrt{7}$ 的整数部分和小数部分，且 $a m n + b n^{2} = 4$ ，则2a+b=．

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15. 若二次根式 $\sqrt{3 a + 5}$ 是最简二次根式，则最小的正整数a=

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16. 如果 $m = k (k + 1)$ ，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如： $6 = 2 \times (2 + 1)$ ， 6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若 $p - q = 8$ ，则 $\frac{s}{t}$ 的值为．

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17. 若关于 x 的一元一次不等式组 ${\begin{matrix} x - 1 > \frac{x - 3}{2} \\ 3 x - a \leq 1 \end{matrix}$ 有解且最多有 3 个整数解，且使关于 y 的分式方程 $\frac{a}{y - 1} = \frac{5 y - 3}{1 - y} + 7$ 有整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是.

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三、解答题

18. 因式分解（1）、利用因式分解简便计算（2）：

(1)、 $3 x^{3} - 12 x$

(2)、 $198^{2} - 396 \times 202 + 202^{2}$

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19. 解方程：

(1)、 $\frac{3}{x - 2} = \frac{2}{x};$

(2)、 $\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{3 x - 3} + 2$

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20. 计算（每小题4分，共12分）

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{(- 2)^{2}} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\sqrt{24} \times \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{48} \div (\sqrt{12} - \sqrt{3})$

(3)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})$

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21. 按要求解答：

(1)、如图①所示的四个图形可拼成如图②所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为；

(2)、如图③，有足够多的边长为a的大正方形，长为a，宽为b的长方形和边长为b的小正方形，请利用拼图将多项式 $a^{2} + 4 a b + 3 b^{2}$ 进行因式分解，在图④虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果；

(3)、若多项式 $3 a^{2} + k a b + 2 b^{2}$ (k为正整数)可以用拼图法因式分解，则 $k =$ .

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22. 为响应2026年义乌市“阅向未来温暖相伴”全民阅读月活动，某校计划采购《大国功勋》和《我为什么爱科学》两种图书，助力书香校园建设。已知每本《大国功勋》的单价比每本《我为什么爱科学》贵4元，用540元购买《大国功勋》的数量，与用480元购买《我为什么爱科学》的数量恰好相等。

(1)、这两种图书的单价分别是多少元？

(2)、书店近期推出《大国功勋》的优惠活动，购买数量小于10本，按原价销售；购买数量大于或等于10本，每本单价28元.《我为什么爱科学》无优惠活动。
①若计划采购这两种图书共60本，且购买《大国功勋》的数量达到优惠标准(不少于10本)，一共花费1780元。问：采购这两种图书各多少本？
②若用432元购买这两种图书，两种都购买且钱全部花完，请写出所有的购买方案。

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23. 对于实数m ， n ，定义 $m i n {m, n}$ 表示m ， n两个数中的较小值，例如 $m i n {3, - 5} = - 5$ ， $m i n {8, 8} = 8$ ．

(1)、填空： $m i n {2 \sqrt{10}, \sqrt{52}} =$ ．

(2)、已知 $m i n {\sqrt{52}, a} = a$ ， $m i n {\sqrt{52}, b} = \sqrt{52}$ ，且a和b为两个连续的正整数，求 $2 \sqrt{7} \times \sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值．

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24. 【阅读与思考】：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 分解因式呢？我们已经知道： $(a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2}) = a_{1} a_{2} x^{2} + a_{1} c_{2} x + a_{2} c_{1} x + c_{1} c_{2} = a_{1} a_{2} x^{2} + (a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}) x + c_{1} c_{2}$ ．反过来，就得到： $a_{1} a_{2} x^{2} + (a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}) x + c_{1} c_{2} = (a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$ ．
我们发现，二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的二次项的系数 $a$ 分解成 $a_{1} a_{2}$ ，常数项 $c$ 分解成 $c_{1} c_{2}$ ，并且把 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $c_{1}$ ， $c_{2}$ 如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}$ ，如果 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}$ 的值正好等于 $a x^{2} + b x + c$ 的一次项系数 $b$ ，那么 $a x^{2} + b x + c$ 就可以分解为 $(a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$ ，其中 $a_{1}$ ， $c_{1}$ 位于图的上一行， $a_{2}$ ， $c_{2}$ 位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子 $x^{2} - x - 6$ 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即 $1 = 1 \times 1$ ，把常数项 $- 6$ 也分解为两个因数的积，即 $- 6 = 2 \times (- 3)$ ；然后把1，1，2， $- 3$ 按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到 $1 \times (- 3) + 1 \times 2 = - 1$ ，恰好等于一次项的系数 $- 1$ ，于是 $x^{2} - x - 6$ 就可以分解为 $(x + 2) (x - 3)$ ．
（1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式： $x^{2} + x - 6 =$ ________；
【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（2）① $2 x^{2} - 5 x - 7 =$ ________；② $12 x^{2} - 11 x y + 2 y^{2} =$ ________；
【探究与拓展】
①类比我们已经知道： $(a_{1} x + b_{1}) (a_{2} y + b_{2}) = a_{1} a_{2} x y + a_{1} b_{2} x + a_{2} b_{1} y + b_{1} b_{2}$ ．
反过来，就得到： $a_{1} a_{2} x y + a_{1} b_{2} x + a_{2} b_{1} y + b_{1} b_{2} = (a_{1} x + b_{1}) (a_{2} y + b_{2})$ ．
（3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：① $2 x y + 3 y + 2 x + 3 =$ ________；
②若 $a$ 、 $b$ 均为整数，且 $a$ 、 $b$ 满足 $6 a b + 8 b - 15 a = 308$ ，求 $a + b$ 的值．

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25. 综合与实践
定义：如果两个分式 $P$ 与 $Q$ 的和为常数 $k$ ，则称 $P$ 与 $Q$ 互为“和常分式”，常数 $k$ 称为“和常值”．例如：分式 $P = \frac{1}{m}$ ， $Q = \frac{2 m - 1}{m}$ ， $P + Q = \frac{1}{m} + \frac{2 m - 1}{m} = 2$ ，则 $P$ 与 $Q$ 互为“和常分式”，“和常值” $k = 2$ ．

(1)、已知分式 $A = \frac{m - 3}{m + 2}$ ， $B = \frac{2 m + 9}{m + 2}$ ，判断 $A$ 与 $B$ 是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”．

(2)、已知分式 $C = \frac{2 m - 1}{m - 3}$ ， $D = \frac{M}{m^{2} - 9}$ ，若 $C$ 与 $D$ 互为“和常分式”，且“和常值” $k = 2$ ．
①求代数式 $M$ （用含 $m$ 的式子表示）．
②若分式 $D$ 的值为正整数，求 $m$ 的值．

(3)、已知分式 $E = \frac{a m - 3}{m - 1}$ ， $F = \frac{m + b}{m^{2} - 2 m + 1}$ （ $a$ ， $b$ 为整数），若 $E$ 与 $F$ 互为“和常分式”，求“和常值” $k$ ．

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密文	…	m-n	m+n	x-y	x+y	8	x	…
明文	…	福	爱	田	外	我	幸	…