湘教版数学八年级上册期中仿真模拟题（一）[范围：第1-3章]

试卷更新日期：2026-10-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、a（x－y）＝ax－ay B、a²－b²＝（a+b）（ a－b） C、x²+2x+1＝x（x+2）+1 D、（x+1）（ x+3）＝x²+4x+3

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2. 代数式 $\frac{2}{5}$ x， $\frac{1}{π}$ ， $\frac{2}{x^{2} + 4}$ ， x²﹣ $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{x}$ ， $\frac{x + 1}{x + 2}$ 中，属于分式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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3. 若 $\sqrt{a}$ 是二次根式，则a的值可以是（）

A、0 B、－1 C、－2 D、－3

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4. 我国古代著作 $《$ 四元玉鉴 $》$ 记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽 $.$ 每株脚钱三文足，无钱准与一株椽 $.$ ”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 $6210$ 文 $.$ 如果每株椽的运费是 $3$ 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 $6210$ 文能买多少株椽？设这批椽的数量为 $x$ 株，根据题意可列分式方程为（）

A、 $3 (x - 1) = \frac{6210}{x}$ B、 $3 x - 1 = \frac{6210}{x}$ C、 $3 x = \frac{6210}{x}$ D、 $3 x = \frac{6210}{x - 1}$

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5. 分式方程 $\frac{3}{x+1} ＝ \frac{2}{x}$ 的解是（）

A、x＝2 B、x＝－2 C、x＝1 D、x＝3

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6. 下列各式计算正确的是（）

A、 ${(\sqrt{3})}^{2} = 9$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 ${(a^{4})}^{3} = a^{7}$

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7. 在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图)，可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中a，b均为整数).下列算式中，能用这种方法进行计算的是（ )

A、25×25 B、33×27 C、46×44 D、85×58

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8. 张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本．已知所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，张老师所买史学书比哲学书少2本．设这种哲学书的单价为 $x$ 元，根据题意可列分式方程为（）

A、 $\frac{150}{x} - \frac{108}{1.2 x} = 2$ B、 $\frac{150}{1.2 x} - \frac{108}{x} = 2$ C、 $\frac{108}{x} - \frac{150}{1.2 x} = 2$ D、 $\frac{108}{1.2 x} - \frac{150}{x} = 2$

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9. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{4} = \pm 2$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2} = \sqrt{5}$ C、 $3 + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} \times \sqrt{5} = \sqrt{30}$

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10. 若关于的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{3 x + 5}{4} \leq \frac{x + 3}{2} \\ x + \frac{1}{2} > \frac{x + a}{2} \end{array}$ 无解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{5 - a y}{2 - y} - 1 = \frac{3}{y - 2}$ 有整数解，则满足条件的整数 $a$ 的值为（）

A、2或3 B、2或7 C、3或7 D、2或3或7

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二、填空题

11. 因式分解： $a^{3} - 4 a =$ ．

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12. 若分式 $\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 的值为0，则x的值是

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13. 若分式 $\frac{7}{x + 6}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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14. 若关于x的分式方程 $\frac{7}{x - 2} + \frac{a}{2 - x} = 4$ 有增根，则a的值为 .

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15. 若二次根式 $\sqrt{2 m - 6}$ 在实数范围内有意义，则m的取值范围是.

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16. 若 $a + b = \sqrt{2} + 1$ ， $a - b = \sqrt{2} - 1$ ，则代数式 $a^{2} - b^{2} =$ ．

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17. 近期，某研究团队在厚度仅为 $0.6 n m$ （ $1 n m = 1 0^{- 9} m$ ）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示 $0.6 n m =$ $m$ ．

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18. 若 $a = \frac{2}{\sqrt{11} - 3},$ 则 $2 a^{4} - 12 a^{3} - 24 a + 7 =$

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三、解答题

19. 分解因式：

(1)、 $2 a b - a^{2} - b^{2}$ ；

(2)、 $2 a^{4} - 32 b^{4}$ ．

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20. 解分式方程： $\frac{3 x}{x - 2} - 1 = \frac{x + 1}{3 x - 6} .$

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21. 计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} + (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ ．

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22. 因式分解：

(1)、 a²（m-n）+b²（n-m）

(2)、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4），请将原多项式分解因式

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23. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《经典常谈》和《昆虫记》两种书籍，分别花费了1500元和1000元，并且订购的两种书籍数量相同，已知《经典常谈》的订购单价比《昆虫记》的订购单价多5元.

(1)、求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；

(2)、该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书籍总费用不超过1200元，则最多可购买多少本《经典常谈》?

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24. 海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式 $v = \sqrt{g d}$ 计算，其中v表示海啸的行进速度 $(m/s)$ ， d表示海水的深度 $(m)$ ， g表示重力加速度，g取 $9 {. 8m/s}^{2}$ ．
海水深度 $d (m)$
500
1000
1500
2000
2500
海啸行进速度 $v (m/s)$
____
$70 \sqrt{2}$
$70 \sqrt{3}$
140
$70 \sqrt{5}$

(1)、根据海啸的行进速度公式，完成上表：

(2)、如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为 $14 m/s$ 和 $28 m/s$ ，那么这两处的海水深度差值是多少？

(3)、下列关于海啸行进速度的描述：
①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大；
②当海水的深度是 $100 m$ 的k倍时，海啸的行进速度是 $70 \sqrt{k} m/s$ ；
③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小．
其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）．

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25. 【问题背景】
某城市规划团队研究新建购物中心吸引力问题时，发现可以用数学模型 $F = \frac{k S}{d}$ 来量化，其中F表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万 $m^{2}$ ）；d表示购物中心到居民区的距离（单位： $k m$ ）；k为常数且 $k > 0$ ．

(1)、【模型应用】
已知当 $S = 3$ 万 $m^{2}$ ， $d = 4$ $k m$ 时， $F = 60$ 次，则 $k =$ ；

(2)、甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万 $m^{2}$ 和4.5万 $m^{2}$ ，它们到同一居民区的距离之比为 $2 : 3$ ，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离；

(3)、【模型修正】
实际调研发现，当距离 $d > 5$ km时，居民的购物意愿下降速度明显加快．因此，团队对模型进行优化，提出分段模型（k与基础模型一致）： $F = {\begin{array}{l} \frac{k S}{d} & (0 < d \leq 5) \\ \frac{k S}{d^{2}} & (d > 5) \end{array}$
【模型分析】
现规划在某居民区附近新建一个占地面积约35万 $m^{2}$ 的购物中心，且到居民区距离d限定在 $4 k m \leq d \leq 7 k m$ ，建成后居民每季度平均购物次数的期望值不少于70次，求整数d的值．

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26. 解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ 。
$∴ (a - 2)^{2} = 3$ 即 $a^{2} -$ 4a $+ 4 = 3 。 ∴ a^{2} - 4 a = - 1 。 ∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ l。
请你根据小明的分析过程，解决下列问题：

(1)、化简： ${\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}}^{\circ}$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1},$ 求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值。

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海水深度 $d (m)$	500	1000	1500	2000	2500
海啸行进速度 $v (m/s)$	____	$70 \sqrt{2}$	$70 \sqrt{3}$	140	$70 \sqrt{5}$