湘教版数学九年级上册期中仿真模拟题（二）[范围：第1-3章]

试卷更新日期：2026-10-20 类型：期中考试

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一、选择题

1. 如图，在平面直角坐标中，已知 $A (1 ， 0) ， D (3 ， 0)$ ， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，原点 $O$ 是位似中心．若 $A B = 1.5$ ，则 $D E$ 长为（）

A、4. 5 B、6 C、7.5 D、9

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2. 在△ABC中，∠C＝90°，a ， b ， c分别是∠A ， ∠B ， ∠C的对边，且有c²＋4b²－4bc＝0，则sin A＋cos A的值为(　　)

A、 $\frac{\sqrt{3} － 1}{2}$ B、 $\frac{1 ＋ \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1 ＋ \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} ＋ \sqrt{2}}{2}$

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3. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x - m = 0$ 有实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 4$ B、 $m < 4$ C、 $m \geq - 4$ D、 $m > - 4$

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4. 如图1，一长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘.图2是此时的示意图，若BC=6cm，AB=16cm，水面BF 离桌面的高度为9.6cm，则此时点 C 离桌面的高度为( )

A、10 cm B、13.2cm C、14.4 cm D、16 cm

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5. 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道 $C D$ 与地面 $A B$ 平行，扶梯 $A D$ 的坡比为 $1 : 1$ ，滑梯 $B C$ 的坡比为 $1 : 2$ ，若扶梯 $A D$ 长为4米，则滑梯 $C B$ 的长为（）米

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{10}$

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6. 设 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2025 x + 2027 = 0$ 的两个实数根，实数 $a$ 、 $b$ 满足： $a {x_{1}}^{2025} + b {x_{2}}^{2025} = 2025$ ， $a {x_{1}}^{2026} + b {x_{2}}^{2026} = 2026$ ，则 $a {x_{1}}^{2027} + b {x_{2}}^{2027}$ 的值为（）

A、 $2027$ B、 $2025$ C、 $- 2027$ D、 $- 2025$

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7. 《代数学》中记载，形如 $x^{2} + 8 x = 33$ 的方程，求其正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 $2 x$ 的长方形，得到大正方形的面积为 $33 + 16 = 49$ ，则该方程的正数解为 $7 - 4 = 3$ .”小唐按此方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 12 x = m$ 时，构造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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8. 如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC ， ∠BAC＝α ， AC＝5米．现要在楼梯上铺一块地毯，则地毯的长度需要(　　)

A、 $(\frac{5}{\tan α} ＋ 5)$ 米 B、(5tan α＋5)米 C、 $\frac{5}{\cos α}$ 米 D、 $\frac{5}{\sin α}$ 米

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9. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 $A B C D$ 与正方形 $E F G H$ ，连接 $D H$ ，若 $D E$ 平分 $∠ C D H$ ，则 $\frac{E H}{H A} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ．
⑤存在实数 $m, n (m \neq n)$ ，使得 $a m^{2} + b m + c = a n^{2} + b n + c$
其中正确的是（）

A、①②④ B、①②④⑤ C、①②③④⑤ D、①②③

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二、填空题

11. 如图， △ABC 关于 BC 的中点 O 作位似图形△EFG，若点 E恰为△ABC的重心，则△EFG与△ABC的周长比为。

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12. 如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD=2：3，△DEF的周长等于15，则△ABC的周长为.

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $3 C E = 4 A B$ ，连接 $A E$ ，点 $B$ 关于 $A E$ 的对称点 $F$ 恰好落在线段 $D E$ 上，连接 $C F$ ，则 $t a n ∠ F C B =$ ．

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14. 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°， $c o s A = \frac{12}{13},$ AC=24，则 AB 的长为.

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15. 已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 m^{2} + 4 m$ 的值是．

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16. 某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元．当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯．市场调查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯．店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价元．

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17. 如图，小明先将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，再将△ABC 纸片沿CD 方向平移到△EAD 处，BC与AD 重合，连接EC.若AB=2，BC=3，则sin∠ACE 的值为.

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18. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - h)^{2} - k = 0$ （ $m, h, k$ 均为常数，且 $m \neq 0$ ）的解是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 5$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - h + 3)^{2} = k$ 的解是．

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三、解答题

19. 在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形．

(1)、在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点 $△ A B C$ 全等；

(2)、在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点 $△ A B C$ 的一条边重合，且与 $△ A B C$ 相似．

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20. 求值： $3 t a n 45 ° + | 2 \sqrt{3} - 2 | - {(π - \sqrt{5})}^{0}$ ．

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21. 解下列一元二次方程：

(1)、3x（x﹣2）＝x﹣2；

(2)、2x²﹣5x+3＝0．

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22. 已知a， b， c为△ABC的三边长，且a+b+c=27， $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4},$ 求△ABC三边的长.

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23. 根据以下材料，完成任务．

材料1	“天下第一壶”位于中国名茶之乡遵义湄潭县天壶公园，建筑由茶壶和底座构成，壶身最大直径 $24$ 米，是世界上最大的茶壶实物造型，并于 $2006$ 年 $5$ 月 $18$ 日被上海大世界吉尼斯总部授予 $($ 中国之最 $)$ 最大实物造型，被誉为遵义的又一地标性建筑．
材料2	小明画出了建筑的侧面示意图，水平地面 $A B$ 上方有一水平的平台 $C D$ ，该平台上有一个竖直的茶壶 $E F$ ，经过测量 $E F ⊥ C D$ ，从 $A$ 到 $C$ 处的斜坡 $A C$ 的坡度 $i = 1$ ： $2 (i = t a n ∠ B A C)$ 且 $A C = 25 \sqrt{5}$ 米 $.$ 假设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 在同一竖直平面内．
材料3	已知在 $A$ 处测得建筑物顶端 $E$ 的仰角 $∠ B A E = 48 °$ ，在 $C$ 处测得 $E$ 的仰角 $∠ F C E = 72 °$ ．
任务1	⑴求平台 $C D$ 到地面的高度．
任务2	⑵求建筑物 $E F$ 的高度 $. ($ 结果保留整数 $)$
备注	参考数据： $s i n 72 ° \approx 0.93$ ， $c o s 72 ° \approx 0.31$ ， $t a n 72 ° \approx 3.00$ ， $s i n 48 ° \approx 0.74$ ， $c o s 48 ° \approx 0.67$ ， $t a n 48 ° \approx 1.10$ ．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，点 $E$ 、点 $F$ 在边 $A C$ 上，且 $D E ∥ B C$ ， $\frac{A F}{F E} = \frac{A E}{E C}$ ．

(1)、求证： $D F ∥ B E$ ；

(2)、如果 $A F = 2$ ， $E F = 4$ ， $S_{△ A D F} = 3$ ．求 $△ A B C$ 的面积．

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25. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如x²+2x﹣35＝0，可变形为x（x+2）＝35．如图1，构造一个长为x+2、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为（x+x+2）的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为（x+x+2）² ，也可表示为4×35+2² ，由此可得新方程：（x+x+2）²＝144，易得这个方程的正数解为x＝5．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根!

(1)、尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x²+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为 $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ ，即x（）＝1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为；

(2)、【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程x²+bx＝c（b＞0，c＞0）的正数解（用含b，c的代数式表示）．

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26. 按要求解题：

(1)、【问题猜想】如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 中点，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C A$ 的延长线上，且 $D F = D E$ ．请猜想 $∠ E$ 与 $∠ F$ 的大小关系，并证明．

(2)、【问题探究】如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C A$ 的延长线上，且 $\frac{B D}{D C} = \frac{D E}{D F}$ ．求证： $∠ E = ∠ F$ ．

(3)、【问题延伸】如图3，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 中点， $A B < A C$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C A$ 的延长线上，且 $\frac{A C}{A B} = \frac{D E}{D F}$ ．求证： $∠ E = ∠ F$ ．

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