华东师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：20.1-22.2章）

试卷更新日期：2026-10-09 类型：期中考试

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一、选择题

1. 当分式 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ 有意义时，x的取值应满足（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x \geq 1$ C、 $x > 1$ D、 $x \geq 1$ 且 $x \neq 0$

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2. 把一元二次方程 $(x - \sqrt{5}) (x + \sqrt{5}) + {(2 x - 1)}^{2} = 0$ 化成一般形式，正确的是( ).

A、 $5 x^{2} - 4 x - 4 = 0$ B、 $x^{2} - 5 = 0$ C、 $5 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ D、 $5 x^{2} - 4 x + 6 = 0$

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3. 图①是一个花架，图②是其侧面示意图．若 $A B ∥ C D ∥ E F, A C = 30 cm, \frac{B D}{D F} = \frac{3}{4}$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $30 cm$ B、 $40 cm$ C、 $50 cm$ D、 $60 cm$

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4. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $\sqrt{a - 3} + \sqrt[4]{b - a + 6} = 0$ ，则点 $(a + 2, b + 5)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 关于x的一元二次方程x²+bx-1=0的实数根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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6. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 $35$ 米、宽 $20$ 米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 $600$ 平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为（）

A、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x - 2 \times 20 x = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(35 - x) (20 - 2 x) = 600$

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7. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点F 为边CD上一点，且FE⊥AB交AB 于点E，若AD=2，BC=8，四边形 AEFD∽四边形 EBCF，则 $\frac{D F}{F C}$ 的值是( ).

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $- {(a^{3} b)}^{2} = a^{6} b^{2}$ C、 $(\sqrt{a} + \sqrt{b}) (\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ D、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b - b^{2}$

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9. 已知P＝x²﹣4x+k² ， M＝2x²﹣x+k²﹣4，N＝﹣x²+3x+2k²+5，下列结论正确的是（　　）

A、若M﹣P＝0，则x＝﹣1或x＝4 B、当x＝1时，M+P的值为2，则 $k = \sqrt{3} 或 k = - \sqrt{3}$ C、M+N有最大值 D、若P﹣N＝0，则关于x的方程有两个不相等的实数根

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10. 若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{5}{7}$ （b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　）

A、 $\frac{a + b}{a - b} = - 6$ B、 $\frac{2 a + c - e}{2 b + d - f} = \frac{5}{7}$ C、 $\frac{c + e}{d + f} = \frac{a + 5}{b + 7}$ D、 $\frac{a + c + e + 5}{b + d + f + 7} = \frac{5}{7}$

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11. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，点P从点A出发以3个单位长度每秒的速度沿 $A D \to D C$ 的路径移动，点Q从点A出发以1个单位长度每秒的速度由点A向点B移动．点P到达C点或点Q到达B点时，点P，Q均停止移动．若 $A B = 6$ ， $A D = 9$ ，连接 $P Q$ ， $C P$ ， $C Q$ ．有下列结论：①点P可以到达C点；② $△ B Q C$ 的面积可以为 $\frac{9 \sqrt{3}}{8}$ ；③至少有两个时刻， $△ P Q C$ 的面积为 $\frac{27 \sqrt{3}}{8}$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 如图，已知 $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形，点 $D$ 是边 $B C$ 上的一点，且 $B D = 1$ ，以 $A D$ 为边作等边 $△ A D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $B F$ ，则下列结论中① $∠ B A D = ∠ C A E$ ；② $△ A B D ≌ △ B C F$ ；③四边形 $B D E F$ 是平行四边形；④ $S_{△ A B C} = \frac{9}{2} \sqrt{3}$ ；⑤ $S_{△ A E F} = 2 S_{四边形 B D E F}$ ．其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

13. 已知 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 4$ ，则2xy的平方根为．

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14. 如图，在矩形ABCD中，若AB=3，AC=5， $\frac{A F}{F C} = \frac{1}{4}$ ，则AE的长为。

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15. 若 $3 - \sqrt{2}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则代数式 $(2 + \sqrt{2} a) \cdot b$ 的值是．

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三、解答题

16. 计算：

(1)、 $(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1);$

(2)、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} .$

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17. 解方程：

(1)、x（x+2）=（x+2）；

(2)、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0 .$

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18. （1）解方程： $x^{2} - 4 x - 5 = 0$
（2）已知 $\frac{y}{2} = \frac{2 y - x}{3}$ （ $y \neq 0$ ），求 $\frac{x}{y}$ 的值．

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19. 若最简二次根式 $\sqrt[3 x - 10]{2 x + y - 5}$ 和 $\sqrt{x - 3 y + 11}$ 是同类二次根式.
（1）求x、y的值；
（2）求 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的值.

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20. 某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件.为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月可以多售出5件.

(1)、降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？

(2)、要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

(3)、该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x ，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润.

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21. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为 $∆ A B C$ 的三边长，且 $a + b + c = 27$ ， $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ，求 $∆ A B C$ 三边的长。

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22. 【观察发现】
∵ ${(\sqrt{6} + \sqrt{5})}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2} + 2 \sqrt{6 \times 5} = 11 + 2 \sqrt{30}$ ．
∴ $\sqrt{11 + 2 \sqrt{30}} = \sqrt{{(\sqrt{6} + \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ ；
∵ ${(2 + \sqrt{3})}^{2} = 2^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \times 2 \times \sqrt{3} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ，
∴ $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt{{(2 + \sqrt{3})}^{2}} = 2 + \sqrt{3}$ ．

(1)、【初步探索】
化简： $\sqrt{10 + 2 \sqrt{21}} =$ ；

(2)、形如 $\sqrt{m - 2 \sqrt{n}}$ 可以化简为 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ，即 $\sqrt{m - 2 \sqrt{n}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ ，且 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 均为正整数，用含 $a$ ， $b$ 的式子分别表示 $m$ ， $n$ ，得 $m =$ ， $n =$ ；

(3)、若 $\sqrt{x + 4 \sqrt{5}} = 1 + y \sqrt{5}$ ，且 $x$ ， $y$ 均为正整数，求 $x$ 的值；

(4)、【解决问题】
某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为 $80 {c m}^{2}$ 和 $(14 + 6 \sqrt{5}) {c m}^{2}$ ．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（纸箱厚度不计）：
型号
长
宽
高
$A$ 型
$10 c m$
$8 c m$
$12 c m$
$B$ 型
$12 c m$
$10 c m$
$15 c m$
$C$ 型
$16 c m$
$10 c m$
$10 c m$
请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？

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23. 综合实践：如何用最少的材料设计花园?
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个长方形花园ABCD，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米.
【项目解决】
目标1：确定面积与边长的关系.
当篱笆全部用完，且围成长方形花园ABCD 的面积为32平方米时，求AB 的长.
目标2：探究用最少的材料的方案.
现要围成面积为 $\frac{81}{2}$ 平方米的长方形花园，设所用的篱笆为m米.

(1)、若m=14，能成功围成吗?若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由.

(2)、若要成功围成，则m的最小值为，此时， $A B =$ 米.

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型号	长	宽	高
$A$ 型	$10 c m$	$8 c m$	$12 c m$
$B$ 型	$12 c m$	$10 c m$	$15 c m$
$C$ 型	$16 c m$	$10 c m$	$10 c m$