浙教版数学九年级上册 4.1 比例线段三阶训练

试卷更新日期：2026-10-04 类型：同步测试

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一、选择题

1. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点 $(A P > B P)$ ，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（）

A、3.71cm B、4.14cm C、4.32cm D、4.86cm

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2. 已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）

A、AB²＝AC²+BC² B、BC²＝AC•BA C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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3. 若三条线段a，b，c的长满足 $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} ，$ 则将这三条线段首尾顺次相连( )

A、能围成锐角三角形 B、能围成直角三角形 C、能围成钝角三角形 D、不能围成三角形

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4. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 $A B C D$ 是黄金矩形. $(A B < B C)$ ，点P是边 $A D$ 上一点，则满足 $P B ⊥ P C$ 的点P的个数为( )

A、3 B、2 C、1 D、0

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5. 若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{5}{7}$ （b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　）

A、 $\frac{a + b}{a - b} = - 6$ B、 $\frac{2 a + c - e}{2 b + d - f} = \frac{5}{7}$ C、 $\frac{c + e}{d + f} = \frac{a + 5}{b + 7}$ D、 $\frac{a + c + e + 5}{b + d + f + 7} = \frac{5}{7}$

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6. 已知 $k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{- a + b + c}{a}$ ，且 $\sqrt{m - 5} + n^{2} + 9 = 6 n$ ，则关于自变量 $x$ 的一次函数 $y = k x - m n$ 的图象一定经过第几象限（）.

A、一，二 B、三，四 C、二，三 D、一，四

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7. 如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E，以线段CE为边作正方形CEFG，取 BC的中点H，连结DH，下列能说明点G是线段 DC的黄金分割点的条件是( )

A、HC=CE. B、DH=2CE. C、DH=HE. D、 $D H = \sqrt{2} C E .$

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8. 如图，将 $⊙ O$ 的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

A、 $\frac{M N}{A M} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{F D}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $B N = N M = M E$ D、 $∠ A = 36 °$

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二、填空题

9. 已知线段AB 的长是2，P 是线段AB 上的一点，且满足 $A P^{2} = A B \cdot B P ，$ 那么 AP 的长为

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10. 已知两条线段a，b的长度满足 $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} ，$ 且a+3b=18.若另一线段x的长度是a，b的比例中项，则x=.

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11. 已知 $a ， b ， c$ 均不为0，且 $a + b + c \neq 0$ ，若 $\frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b} = \frac{a + b}{c} = \frac{m}{n}$ ，则 $\frac{m}{n}$ 的值为；

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12. 顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形ABCDE的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知BE=2，则DE的长为.

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13. 如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE ，若 $\frac{A E}{A D} = \frac{A D}{A B}$ ，则称矩形ABCD为“黄金矩形”， $\frac{长}{宽} = \frac{A B}{A D} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG ， GHFE ，若 $\frac{A E}{A D} = \frac{A D}{A B}$ ，则称矩形ABCD为“白银矩形”， $\frac{长}{宽} = \frac{A B}{A D}$ 称为“白银比率”，则该比率为；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作 $\sqrt{2}$ ，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是．

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三、解答题

14. 已知△ABC与△DEF在网格中的位置如图所示，每个小正方形的边长都是1．

(1)、求 $\frac{A B}{D E}$ ， $\frac{E F}{B C}$ ， $\frac{A C}{D F}$ 的值．

(2)、写出两组比例线段．

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15. 阅读下面的材料，并解答问题.
小明参加了一次折叠活动，折叠步骤如下：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图①所示的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平.
第二步：如图②，把这个正方形折成两个完全一样的矩形，再把纸片展平.
第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB 折到图③所示的AD 处.
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出图④所示的矩形 BCDE.
已知矩形 BCDE 为黄金矩形，你能说明为什么吗((注：当矩形的宽与长的比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时，我们称这个矩形为黄金矩形)?

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16. 【实验与探究】小明用一根质地均匀的木杆和一些等重的砝码做实验．如题22图1：他在木杆的正中间O处栓绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，然后在木杆的左边挂m个砝码，在木杆的右边挂n个砝码，并通过移动左右两边的砝码直至木杆平衡，记平衡时木杆左边挂砝码的位置为A，木杆右边挂砝码的位置为B．小明记录如下：

木杆左边砝码数量m（单位：个）	支点到木杆左边砝码处的距离 $O A$ （单位： $cm$ ）	木杆右边砝码数量n（单位：个）	支点到木杆右边砝码处的距离 $O B$ （单位： $cm$ ）	状态
1	12	1	12	平衡
2	6	1	12	平衡
4	4	1	12	不平衡
4	3	1	12	平衡
5	①	1	12	平衡
…	…	…	…	…

（1）请你通过实验发现的规律，帮小明补全实验记录：① ，我们可以得出一般性结论：当木杆平衡时， $m \times O A =$ ．（用含有n和 $O B$ 的式子表示）

【深入探讨】（2）若 $O A = 6 cm$ ， $O B = 12 cm$ ， $m = 2$ ， $n = 1$ ．小明在A处再加挂3个等重的砝码，为使木杆平衡，木杆右边的砝码应该如何移动？并求出移动距离．

【学以致用】（3）学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如题22图2所示，提纽O处是支点，已知 $O A = 4 cm$ ，秤砣重量是600克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时 $O C = 1 cm$ ，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时 $O B = 17 cm$ ，则重物的重量是多少克？（用方程解决）

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二、填空题

三、解答题

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