浙教版数学九年级上册 4.1 比例线段二阶训练

试卷更新日期：2026-10-04 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知线段 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $b$ 是 $a$ ， $c$ 的比例中项，若 $a = 3$ ， $c = 12$ ，则 $b$ 的值是（）

A、 $\pm 6$ B、 $6$ C、 $- 6$ D、 $\pm 4$

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2. 若m： n=1： 3，则 $\frac{m}{m + n}$ 的值为( )

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、4 D、 $\frac{4}{3}$

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3. 如果 $a b = c d$ ，那么下列式子不成立的是（）

A、 $\frac{a}{c} = \frac{d}{b}$ B、 $\frac{a}{d} = \frac{c}{b}$ C、 $\frac{c}{a} = \frac{d}{b}$ D、 $\frac{c}{a} = \frac{b}{d}$

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4. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为 $14$ cm，则它的长为（）

A、 $(7 \sqrt{5} + 7)$ cm B、 $(21 - 7 \sqrt{5})$ cm C、 $(7 \sqrt{5} - 21)$ cm D、 $(7 \sqrt{5} - 7)$ cm

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5. 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形 $A B C D$ 的 $B C$ 边上取中点E ，以点E为圆心，线段 $D E$ 长为半径作圆，交 $B C$ 的延长线于点F ，过点F作 $F G ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点G ，得到矩形 $C D G F$ ．根据黄金分割的意义：矩形 $A B F G$ 满足 $A B : B F = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，若 $A B = 2$ ，则 $C F$ 的长是（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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6. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：①作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF；②以F为圆心，DF为半径画弧，交BC的延长线于点G；③作GH⊥AD，交AD的延长线于点 H.则在上图的矩形中，除了矩形DCGH外，黄金矩形还包括（ )

A、矩形ABGH B、矩形ABFE C、矩形 EFGH D、矩形 EFCD

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7. 形状与大小都确定的一个锐角三角形 $A B C$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上一点，下列条件不能唯一确定 $△ A B D$ 与 $△ A D C$ 面积的比值的是（）

A、点 $D$ 是边 $B C$ 的黄金分割点 B、点 $D$ 是边 $B C$ 的中点 C、 $A D$ 是边 $B C$ 上的高 D、 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线

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8. 已知线段a，b，m，n，求作线段x，使得 $x = \frac{b^{2}}{2 a},$ 下列作图正确的是 ( )

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $D$ 是 $B C$ 上一点， $E$ 是 $A C$ 的延长线上一点，且 $B D = C E = \frac{1}{3} B C .$ 若 $△ A B D$ 的面积为 $3$ ，则 $△ A D E$ 的面积为（）

A、 $9$ B、 $8$ C、 $7.5$ D、 $8.5$

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二、填空题

10. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{1}{3},$ 若a+c=5，且b+d≠0，则b+d=.

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11. 某会议桌宽和长之比为黄金比例，已知它的长为4，则宽的长度是.（结果保留根号）

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12. 已知 $\frac{a}{b c} = \frac{b}{a c} = \frac{c}{a b} = 2,$ 则 $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a b c}$ 的值是.

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13. 短边与长边之比等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形称为“黄金矩形”.如图，四边形ABCD 是黄金矩形，且 $\frac{A B}{A D} =$ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} .$ 以AB为边作正方形ABFE，点F，E分别在边 BC，AD上，得到黄金矩形 EFCD；以DE为边作正方形DEHG，点H，G分别在边 EF，CD上，得到黄金矩形HGCF.分别以F，H为圆心作 $\hat{B E}, \hat{E G},$ ，则曲线 BEG称为“黄金螺线”.若AD=4，则“黄金螺线”BEG 的长为.(结果保留π)

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14. 定义：在△ABC中，点D在边BC上，若 $\frac{B D}{D C} = {(\frac{A B}{A C})}^{2} ，$ 则称线段AD为△ABC的“平方分割线”，点D称为“平方分割点”.如图，在△ABC中，已知AB=2， AC=4， BC=5，则平方分割点 D 到点 B 的距离BD 的长为.

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三、解答题

15. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点.例如：如题20-1图，点C是线段AB上一点，AC>BC，且 $A C^{2} = B C \cdot A B,$ ，则点C是线段AB的黄金分割点.

(1)、如图1中，若线段AB=1，求线段AC的长.

(2)、如图2，线段AB=2，C，D是线段AB的黄金分割点.
求证：点D是线段AC的黄金分割点.

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二、填空题

三、解答题

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