浙教版数学九年级上册 3.7 弧长及扇形的面积三阶训练

试卷更新日期：2026-10-04 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2，以A为圆心， $A B$ 长为半径作弧，分别与 $B C$ ， $C D$ 交于E，F两点，若 $\overset{⌢}{B E}$ 与 $\overset{⌢}{E F}$ 的长之比为 $1 : 2$ ，则 $\overset{⌢}{B D}$ 的长为（）

A、 $π$ B、 $\frac{10}{9} π$ C、 $\frac{8}{7} π$ D、 $\frac{4}{3} π$

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2. 图1是半径为 $1 cm$ 的圆形硬币，点 $M$ 是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为 $2 : 1$ 的矩形、正方形和正六边形，周长均为 $6 π cm$ ，对称中心均记为点P．点 $N$ 为轨道上一定点（除轨道①外， $N$ 均为 $A B$ 的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点 $M$ 与 $N$ 重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点 $M$ 第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为 $N^{'}$ ，则四个轨道中， $∠ N P N^{'}$ 最大的是（）

A、轨道① B、轨道② C、轨道③ D、轨道④

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3. 如图，在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4，以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC，点 P 为菱形内一点，连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为( )

A、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3} + 2$ B、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3} - 2$ C、8π D、 $8 π - 6 \sqrt{3} - 6$

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4. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 $\sqrt{3}$ 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 和点 $B$ 均在 $y$ 轴上，纵坐标分别为 $1$ 和 $3$ ，点 $C$ 的坐标为 $(1, 3)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(- 2, 2)$ ， $C D$ 与 $\overset{⌢}{A B C}$ 交于点 $P$ ，则 $\overset{⌢}{A P}$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} π}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{5} π}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5} π}{2}$ D、 $\sqrt{5} π$

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6. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的半径为4，以A为圆心， $A C$ 的长为半径画弧 $E C$ ，连接 $A C$ ， $A E$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$

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7. 用 $12$ 米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）

A、方案 $1$ B、方案 $2$ C、方案 $3$ D、都一样

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8. 如图，在5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，A ， B ， C ， D是四个格点，经过A ， B ， C三点的圆弧与AD交于点E ．
结论I：点E是线段AD的中点，同时也是 $\overset{⌢}{A C B}$ 的中点；
结论Ⅱ：阴影部分的面积为 $\frac{13}{16} π - \frac{13}{8}$ ．
对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（）

A、I和Ⅱ都对 B、I和Ⅱ都不对 C、I不对Ⅱ对 D、I对Ⅱ不对

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9. 如图，半径为2，圆心角为 $90 °$ 的扇形 $O A B$ 的弧 $A B$ 上有一动点 $P$ ，从点 $P$ 作 $P H ⊥ O A$ 于点 $H$ ，设 $△ O P H$ 的三个内角平分线交于点 $M$ ，当点 $P$ 在弧 $A B$ 上从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，点 $M$ 所经过的路径长是（）．

A、 $π$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $2 π$

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P ，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为3+3 $\sqrt{3}$ ；③BP存在最小值为3 $\sqrt{2} -$ 3；④点P运动的路径长为 $\sqrt{2}$ π．其中，正确的是（　　）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

11. 如图，直线l₁//l₂ ，直线m交l₁、l₂于点A、B，以A为圆心， AB长为半径画弧，圆弧交l₂于点C，交l₁于点 D、E，若∠ABE=55°， AB=6，则 $\hat{C D}$ 的长为.

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12. 如图，⊙O是边长为2 $\sqrt{3}$ 的等边三角形ABC的外接圆，点D是 $\hat{B C}$ 的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A B = 4$ ， $C D$ 是中线，点 $E$ 、 $F$ 同时从点 $D$ 出发，以相同的速度分别沿 $D C$ 、 $D B$ 方向移动，当点 $E$ 到达点 $C$ 时，运动停止，直线 $A E$ 分别与 $C F$ 、 $B C$ 相交于 $G$ 、 $H$ ，则在点 $E$ 、 $F$ 移动过程中，点 $G$ 移动路线的长度为．

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14. 如图，A，B，C为 $⊙ O$ 上的三个点，C为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $O A$ ， $O B$ ， $A C$ ， $B C$ ，以C为圆心， $A C$ 长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是．

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15. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的半圆上， $A B = 4$ ， $∠ C B A = 30 °$ ，动点 $D$ 在线段 $A B$ 上且不与 $A$ 、 $B$ 重合，点 $E$ 与点 $D$ 关于 $A C$ 对称， $D F ⊥ D E$ 于点 $D$ ，并交 $E C$ 的延长线于点 $F$ ．给出下面四个结论：① $\overset{⌢}{A C}$ 的长度为 $\frac{2 π}{3}$ ；② $∠ F = 30 °$ ；③ $C E = C F$ ；④线段 $E F$ 的最小值为 $4$ ．上述结论中，正确的结论的序号有．

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三、解答题

16. 某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径 $A B = 6 cm$ ，杯底直径 $C D = 4 cm$ ，杯壁母线 $A C = B D = 6 cm$ ．请你解决下列问题：

(1)、小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧 $E F$ 的长为______ $cm$ ，弧 $M N$ 的长为______ $cm$ ；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧 $M N$ 所在圆的圆心 $O$ ，如图3所示．求弧 $M N$ 所在圆的半径 $r$ 及它所对的圆心角的度数 $n$ ．

(2)、小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．

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