广西玉林市八校2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题

试卷更新日期：2025-11-30 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每题5分，满分40分）

1. 经过 $A (2, 3)$ ， $B (1, 2)$ 两点的直线倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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2. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的焦点，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长是（）

A、16 B、 $8$ C、 $12$ D、 $6$

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3. 已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点为 $(- 2, 0)$ ，则双曲线 $C$ 的一条渐近线方程为（）

A、 $x + \sqrt{3} y = 0$ B、 $\sqrt{3} x + y = 0$ C、 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ D、 $\sqrt{3} x + y - 1 = 0$

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4. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的棱长均为 $a$ ，则直线 $A B$ 与底面 $B C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 直线 $y = k x + 2$ 与曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, - \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ B、 $(- 2, - \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2)$ C、 $(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

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6. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列选项正确的是（）

A、AD∥平面A₁BC₁ B、三棱锥DA₁BC₁的外接球的表面积为 $12 π$ C、DB₁⊥平面A₁BC₁ D、三棱锥DA₁BC₁的体积为 $\frac{2}{3}$

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7. 老杨根据风俗观念要在一块半径为 $20 m$ 的半圆形祖传宝地上截取一矩形地块建房子，要使截得的矩形地块面积最大，最大面积是（）

A、 $200 m^{2}$ B、 $300 m^{2}$ C、 $400 m^{2}$ D、 $500 m^{2}$

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8. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点，A和B是以O为圆心，以 $|O F_{1}|$ 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 $△ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线E的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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二、多项选择题（每题全对得6分，少选得2分，错选得0分，满分18分）

9. 已知直线 $l$ 的斜率是-2，且 $l$ 经过点 $(- 2, 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{u} = (- 2, 1)$ B、 $l$ 与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 平行 C、 $l$ 与直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 D、 $l$ 在 $y$ 轴上的截距等于 $- 3$

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10. 点 $P$ 在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 上，点 $Q$ 在圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ 上， $M (4, - 2)$ 为圆 $C_{2} 内一点，$ 则下列结论中正确的是（）

A、圆心距 $| C_{1} C_{2} | = 5$ B、 $| P Q |$ 的最小值为2 C、 $| P Q |$ 的最大值为9 D、圆 $C_{2}$ 经过点 $M$ 的最短弦的长为4

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11. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 内一点 $M (1, 2)$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长为 $2 \sqrt{2}$ B、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、直线 $l$ 的方程为 $2 x + y - 4 = 0$ D、直线 $l$ 的方程为 $x + y - 3 = 0$

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三、填空题（每题5分，满分15分，请把答案写在答题卡上）

12. 已知某光源从点 $A (- 1, 2)$ 出发射到 $x$ 轴上点 $P$ 后反射，反射光线经过点 $B (5, 6)$ ，则 $|P A| + |P B|$ 的值是.

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13. 若 $a > 1$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的离心率 $e$ 的取值范围是．

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14. 已知F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| PQ | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形PF₁QF₂的面积为。

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四、解答题（本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知点 $M (0, 3), N (- 4, 0)$ 及点 $P (- 2, 4)$ ；

(1)、若直线 $l$ 经过点 $P$ 且 $l / / M N$ ，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、求证： $△ P M N$ 是直角三角形.

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16. 已知圆C的方程为； $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ ，直线 $l$ 的方程为 $y = x$

(1)、过点 $(- 1, 0)$ 作圆C切线，求切线的一般式方程；

(2)、若Q为直线 $l$ 上一点，且Q的横坐标为2，P为平面内一动点，O为原点，满足 $|P O| = \sqrt{2} |P Q|$ ，求点 $P$ 的轨迹方程.

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17. 已知双曲线E的标准方程为： $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (b > 0)$ ，左右焦点分别是 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ， $F_{2}$ 到双曲线渐近线的距离是1.

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 与双曲线E交于A､B两点，求 $△ A B F_{1}$ 的面积.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，以 $A D$ 为折痕，将 $△ A C D$ 折至 $△ A P D$ 的位置，使得 $P B ⊥ A B$ .

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、若 $A D = P B = 4$ ， $B D = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值.

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19. 已知椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.

(1)、求椭圆M的方程；

(2)、若直线l与椭圆M交于C，D两点，点 $P (2, 0)$ ，记直线PC的斜率为 $k_{1}$ ，直线PD的斜率为 $k_{2}$ ，当 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = 1$ 时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.

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