第五章《二元一次方程组》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

试卷更新日期：2026-09-26 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 3 \\ x + k y = 3 + k \end{array}$ 的解为整数，则满足这个条件的整数k的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、无数个

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2. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 2.1 \\ y = 4.5 \end{array}$ .则关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (x - 2) + 3 b_{1} y = 2 c_{1} \\ a_{2} (x - 2) + 3 b_{2} y = 2 c_{2} \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 4.1 \\ y = 13.5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 4.2 \\ y = 4.5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 6.2 \\ y = 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 6.2 \\ y = 3 \end{array}$

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3. 在解方程组 ${\begin{array}{l} a x - b y = 2 \\ c x + 7 y = 8 \end{array}$ 时，一同学把c看错而得到 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，正确的解应是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ ，那么 $a + b - c$ 的值是（）

A、不能确定 B、－3 C、－1 D、1

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4. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件．乙7件、丙1件，共需64元，若购甲4件、乙10件．丙1件，共需79元现购甲、乙、丙各一件，共需（）．

A、32元 B、33元 C、34元 D、35元

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5. 已知关于 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} x + 2 y = 6 - 3 a \\ 4 x - y = 6 a \end{matrix}$ ，给出下列说法：
①当 $a = 1$ 时，方程组的解也是 $x - y = 2 a - 1$ 的解；
②若 $5 x + y = 3$ ，则 $a = - 1$ ；
③无论 $a$ 取何值： $x, y$ 的值不可能互为相反数；
④ $x, y$ 都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、③④ D、①②④

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6. 若关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} x + a y + 1 = 0, \\ b x - 2 y + a = 0 \end{matrix}$ 没有实数解，则 ( )

A、ab=-2 B、ab=-2且a≠1 C、ab≠-2 D、ab=-2且a≠2

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7. 关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 a y = 3 - a \\ - a x - 2 y = 1 \end{array}$ ， ①当 $a = 2$ 时，方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = \frac{1}{2} \end{array}$ ， ②当 $a = 3$ 时， $x + 2 y = \frac{1}{2}$ ；③若该方程组无解，则 $a = \pm 1$ ，以上结论中正确的个数有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形，它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形 $A$ 的面积为（）

A、1296 B、1444 C、2304 D、20736

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9. 小宇、小欣和小杰三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则小杰的得分是( )

A、31分 B、32分 C、33分 D、34分

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10. 用大小、形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知 $A (- 1, 5)$ ，则点B的坐标为（）

A、 $(4, - 2)$ B、 $(- \frac{20}{3}, \frac{14}{3})$ C、 $(- 6, 5)$ D、 $(- \frac{14}{3}, \frac{11}{3})$

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 若关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} m_{1} x + n_{1} y = 7 \\ m_{2} x - n_{2} y = - 5 \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，则方程组 $\{\begin{array}{l} m_{1} x + \frac{1}{3} n_{1} y = 7 + 2 m_{1} \\ m_{2} x - \frac{1}{3} n_{2} y = - 5 + 2 m_{2} \end{array}$ 的解是．

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12. 已知关于 $x, y$ 的方程 $a x + b y = c$ 的解如表：
$x$
…
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
…
$y$
…
$\frac{14}{3}$
4
$\frac{10}{3}$
$\frac{8}{3}$
2
$\frac{4}{3}$
…
关于 $x, y$ 的方程 $m x - n y = k$ 的解如表：
$x$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
…
$y$
$\frac{11}{2}$
4
$\frac{5}{2}$
1
$- \frac{1}{2}$
$- 2$
…
则关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a (x + y) - b (x - y) = 3 c + b \\ m (x + y) + n (x - y) = 3 k - n \end{matrix}$ 的解是．

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13. 若关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} m x - 2 y = 9, \\ 3 x - 2 y = 5 \end{matrix}$ 的解为整数，则满足条件的所有整数m 的值的和为.

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14. 若关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 3 \\ a x - b y = - 5 \end{array}$ 和关于 $x$ 、 $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 11 \\ b x - a y = 1 \end{array}$ 有相同的解，则 $a + b$ 的值为．

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15. 对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”，例如：m＝2 136，因为2＋6＝2×(1＋3)，所以2 136是“共生数”；再如m＝5 479，因为5＋9≠2×(4＋7)，所以5 479不是“共生数”．若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为.

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三、解答题（共7题，共72分）

16. 对于未知数为 $x, y$ 的二元一次方程组，如果方程组的解 $x, y$ 满足 $|x - y| = 1$ ，我们就说方程组的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”．

(1)、判断方程组 $\{\begin{matrix} x + 2 y = 7 \\ x + y = 6 \end{matrix}$ 的解 $x$ 与 $y$ 是否具有“邻好关系”？说明理由；

(2)、若方程组 $\{\begin{matrix} 4 x - y = 2 m \\ 2 x + y = 4 m + 6 \end{matrix}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，求 $m$ 的值；

(3)、若对于任意的有理数 $m$ ，未知数为 $x, y$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 2 a m x + (b - 1) y = 2 m \\ x + 2 y = 4 \end{matrix}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，请求出 $a b$ 的值．

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17. 【阅读材料】
关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2}, \end{matrix}$ 把每个方程中未知数x，y的系数分别互换(常数项不变)，得到的新方程组 ${\begin{matrix} b_{1} x + a_{1} y = c_{1}, \\ b_{2} x + a_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 称为原方程组的“倒位方程组”.如果原方程组和它的“倒位方程组”有完全相同的解，则原方程组为“自倒方程组”.

(1)、【初步感知】
方程组 ${\begin{matrix} x + 3 y = 7, \\ 2 x + 3 y = 8 \end{matrix}$ 的“倒位方程组”为，该方程组(选填“是”或“不是”)“自倒方程组”.

(2)、【深入探究】
若关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} 2 x - y = 5, \\ m x + 3 y = 4 \end{matrix}$ 是“自倒方程组”，求m的值和该方程组的解.

(3)、【拓展延伸】
已知关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} a x + b y = m, \\ c x + d y = n \end{matrix}$ 是“自倒方程组”，且a≠b， c≠d， a+b≠0，c+d≠0，求a， b， c， d， m， n应满足的数量关系.

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18. 我们知道，二元一次方程有无数组解.在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上.例如： ${\begin{matrix} x = 1, \\ y = 2 \end{matrix}$ 是方程x-y=-1的一个解，对应点M（1，2）.如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还对应点（2，3）、（0，1）……将这些点连起来正是一条直线，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程x-y=-1的解，所以，这条直线就叫做方程x-y=-1的图象.
一般地，任意二元一次方程的解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象.请问：

(1)、已知A（2，2），B（2，3），C（ $\frac{1}{2}$ ， 2），则点（填“A”，“B”或“C”）在方程2x-y=-1的图象上.

(2)、求方程2x+3y=9和方程3x-4y=5图象的交点坐标.

(3)、以关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{matrix} 5 x + 3 y = 20 + 7 m, \\ 3 x + 4 y = 19 - 14 m \end{matrix}$ 的解为坐标的点在方程x+y=5的图象上，且关于p，q的二元一次方程kp+（14m+1）q=9（k为正整数）有且仅有两组正整数解（即p，q均为正整数），求k的值.

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19. 下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．

排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价．

[情境引入]

小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌排球的单价为x元，则列出一元一次方程： $25 x + 50 (x - 30) = 4500$ ”．

(1)、根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）．

①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元；

②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元．

(2)、[迁移类比]

小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求A、B两种品牌排球的单价．

(3)、[拓展探究]

老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，问：学校共有几种购买方案，并求出最省钱的购买方案？

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20. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计板材裁切方案？
素材1	图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为 $50 cm \times 15 cm$ ，座垫尺寸为 $50 cm \times 40 cm$ ．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2	因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为 $240cm$ ，宽为 $50cm$ ．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一	拟定裁切方案	若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16张和座垫0张．方法二：裁切靠背______张和坐垫______张．方法三：裁切靠背______张和坐垫______张．
任务二	确定搭配数量	若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三	解决实际问题	现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．

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$x$	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	…
$y$	…	$\frac{14}{3}$	4	$\frac{10}{3}$	$\frac{8}{3}$	2	$\frac{4}{3}$	…

第五章 《二元一次方程组》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共7题，共72分）

第五章《二元一次方程组》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷