冀教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）

试卷更新日期：2026-09-25 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若 $(3 - m) x^{m^{2} - 7} - x + 1 = 0$ 是一元二次方程，则m的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $\pm 3$ D、9

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2. 如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E，以线段CE为边作正方形CEFG，取 BC的中点H，连结DH，下列能说明点G是线段 DC的黄金分割点的条件是( )

A、HC=CE. B、DH=2CE. C、DH=HE. D、 $D H = \sqrt{2} C E .$

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3. 小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是(　　)

A、小庆选出的四个数字的方差等于4.25 B、小铁选出的四个数字的方差等于2.5 C、小娜选出的四个数字的平均数等于3.5 D、小萌选出的四个数字的极差等于4

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、2 D、4

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为线段 $B C$ 上一动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = ∠ B = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点 $E$ ．

下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学： $△ A B D ∽ △ D C E$ ；
乙同学：若 $A D = D E$ ，则 $B D = C E$ ；
丙同学：当 $D E ⊥ A C$ 时， $D$ 为 $B C$ 的中点．
则下列说法正确的是（　）

A、三个同学都正确 B、只有乙和丙同学正确 C、只有甲和丙同学正确 D、只有甲同学正确

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6. 在统计学中经常用一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A、一班成绩比二班成绩集中 B、一班成绩的第一四分位数是80分 C、一班有同学的成绩超过140分 D、一班成绩的中位数低于二班

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7. 如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为 $6 cm$ ，像距为 $9 cm$ ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 $3 cm$ ，则蜡烛火焰的高度是（）

A、 $\frac{3}{2} cm$ B、 $2cm$ C、 $\frac{5}{2} cm$ D、 $3 cm$

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8. 如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出2×3个位置相邻的数.如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（）

A、x（x+9）=190 B、x（x-8）=190 C、（x+9）（x-9）=190 D、x（x-9）=190

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9. 我们称形如 ${k (x - h)}^{2} + p = 0$ （ $k \neq 0$ ）的方程为关于x的“标准二次方程”。若两个一元二次方程可以写成 ${k_{1} (x - h)}^{2} + p = 0$ 和 ${k_{2} (x - h)}^{2} + p = 0$ 的形式（ $h$ 和 $p$ 相同， $k_{1} \neq k_{2}$ ），则称它们是“伙伴方程”．如2（x﹣3）²﹣4＝0与3（x﹣3）²﹣4＝0就是“伙伴方程”．已知2（x﹣1）²﹣1＝0与（a+1）x²+（b﹣2）x﹣2＝0是伙伴方程，那么代数式ax²+bx+2026能取的最大值是（　　）

A、2025 B、2026 C、2027 D、2028

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10. 如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（ )

A、 $\sqrt{5} + 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5} + 2$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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二、填空题

11. 一组数据2，3，x，y，7中，唯一众数是7，平均数是4，这组数据的中位数是．

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12. 若 $m$ ， $n$ 为一元二次方程 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为．

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13. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 BA，CA 上，DE∥BC， $\frac{S_{△ D E A}}{S_{△ 形 B C E D}} = \frac{1}{8},$ ， BC =12，那么DE=.

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 位似，位似中心为点O ．若 $\frac{A O}{D O} = \frac{3}{2}$ ， $△ A B C$ 的周长与 $△ D E F$ 的周长之比为．

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15. 一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式 $2 x^{2} + p x + c, - x^{2} + q x + c$ （其中 p，q，c均是不为零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示：
二次多项式
对二次多项式进行因式分解
对二次多项式使用配方法
$2 x^{2} + p x + c$
（2x+a) （x+b)
$2 (x - m)^{2} + k_{1}$
$- x^{2} + q x + c$
（x+a) （-x+b)
$- (x - n)^{2} + k_{2}$
（说明： a，b，m，n，k₁ ， k₂均为常数)
有学生探究得到以下四个结论：
①若p+q=12，则 2m+6=n；
②若 p=q=2，则 $c = - \frac{8}{3};$
③若有且只有一个 x的值，使代数式 $2 x^{2} + p x + c$ 的值为 0，则 p-4q=0；
④若 m-n=2，则 c的值不可能是-5.
其中所有正确结论的序号是.

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16. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6$ ，点E在边 $A B$ 上， $A E = B C = 2$ ，连接 $C E$ ，且 $∠ D C E = ∠ B C E$ ．点F在 $B C$ 的延长线上，连接 $D F$ ．若 $D F = D C$ ，则线段 $C F$ 的长为．

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三、解答题

17. 选择适当的方法解下列方程：

(1)、2x²﹣3x＝0；

(2)、x²﹣4x+3＝0．

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18. 计算题

(1)、已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，求 $\frac{4 a - 3 b}{a}$ ；

(2)、已知 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，求证： $\frac{a}{b} = \frac{a - c}{b - d} (b - d ≠0)$ .

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 5 = 0$ ．

(1)、当方程有两个实数根时，求 $m$ 的取值范围．

(2)、当方程的两个根 $x_{1} 、 x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} x_{2} + 12$ 时，求 $m$ 的值．

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20. 在边长为1的正方形的网格中， $△ A B C$ 的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图）

(1)、以A点为位似中心，在网格区域内将 $△ A B C$ 放大2倍得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ．

(2)、在线段 $A B$ 上画一个点M，使 $\frac{B M}{A M} = \frac{1}{3}$ ．

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21. 某工厂计划生产一批智能机器人的关节部件，其外壳部分需要使用 3D 打印技术制造.现有甲、乙两个品牌的钛合金粉末(打印原料)可供选择，工厂的质检部门各随机抽取了10桶进行测试打印，按顺序记录下每桶原料打印的合格产品数量，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：
每桶打印合格产品数(单位：个)
甲： 48 51 48 51 48 50 51 50 51 52
乙： 45 49 46 56 45 49 54 48 49 59
信息二：
信息三：每桶打印合格产品数统计表
品牌
平均数
中位数
方差
甲
m
50.5
2
乙
50
n
20.6
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求甲品牌每桶打印合格产品数的平均数m的值；

(2)、求乙品牌每桶打印合格产品数的中位数n的值；

(3)、若每桶打印合格产品数越稳定越有利于生产，你认为工厂的质检部门会推荐哪个品牌?说明理由.

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22. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点O，在 $D C$ 的延长线上取一点E，连接 $O E$ 交 $B C$ 于点F， $A B = 4 ， B C = 6 ， C E = 2$ ，求 $C F$ 的长度．

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23. 某公园有一块长30米，宽20米的长方形空地，现将其划分成一个长方形 $A B C D$ 区域I（阴影部分）和一个环形道路区域II（空白部分），如图1所示．区域II道路的宽度相等，且不超过5米．其中区域 $I$ 种植甲、乙两种花卉，且满足 $A E = A H = C F = C G$ ，设道路宽为 $x$ 米．

(1)、请用含 $x$ 的代数式表示长方形 $A B C D$ 的面积；

(2)、若长方形 $A B C D$ 的面积为336平方米，求道路宽 $x$ 的值；

(3)、若点 $E$ 为 $A B$ 的中点，建设成本如图2，建造总费用恰好为50000元（建造总费用包含花卉种植费和道路铺设费），求道路宽 $x$ 的值．

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24. 教材母题：北师大（2024版）教材P21习题1.2第4题，已知△ABC为等边三角形，其边长为4.点P是AB边上一动点，连接CP.

(1)、如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F.
①求证：BE=CP；
②求∠BFC的度数；

(2)、变式提升：
如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D.设BP=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、拓展应用：
如图3，在（2）的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE.在点P运动过程中，当△CEQ的周长为 $4 + \sqrt{13}$ 时，求DE的长.

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25. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到矩形 $A E F G$ ，其中点 $E$ ， $F$ 分别是点 $B$ ， $C$ 的对应点．

(1)、如图1，连接 $D G$ ， $B E$ ，则 $\frac{D G}{B E}$ 的值为．

(2)、如图2，当点 $E$ 恰好落在边 $C D$ 上，连接 $B G$ 交 $A E$ 于点 $O$ ，连接 $B E$ ．
① $D E$ 的长度为．
②求证： $O G = O B$ ．

(3)、若直线 $E B$ ， $D G$ 交于点 $H$ ，当 $B E = 8$ 时，请直接写出 $B H$ 的长．

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二次多项式	对二次多项式进行因式分解	对二次多项式使用配方法
$2 x^{2} + p x + c$	（2x+a) （x+b)	$2 (x - m)^{2} + k_{1}$
$- x^{2} + q x + c$	（x+a) （-x+b)	$- (x - n)^{2} + k_{2}$

品牌	平均数	中位数	方差
甲	m	50.5	2
乙	50	n	20.6