第四章《一次函数》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

试卷更新日期：2026-09-25 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在“探索一次函数 $y = k x + b$ 中 $k$ ， $b$ 与图象的关系”活动中，已知点 $A (2, 2)$ ，点 $P (m, n)$ 在第一象限内，若一次函数 $y = k x + b$ 图象经过 $A$ ， $P$ ，则下列判断正确的是（）

A、当 $m > n$ 时， $b > 0$ B、当 $m < n$ 时， $b < 0$ C、当 $m + n = 2$ 时， $k > 0$ D、当 $m + n = 2$ 时， $k < 0$

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2. 已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ 为直线 $y = - 2 x + 1$ 上的三个点，且 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ，则以下判断正确的是（）

A、若 $y_{1} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$ B、若 $y_{1} y_{2} > 0$ ，则 $x_{2} x_{3} > 0$ C、若 $y_{2} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{3} > 0$ D、若 $y_{2} y_{3} < 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$

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3. 已知某手机目前电量为 $20 %$ ，经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量 $E$ （单位：％）与充电时间 $t$ （单位：小时）的函数图象分别为图中的线段AB、AC.已知该手机正常使用时耗电量为 $10 % /$ 小时，在用快速充电器将其充满电后，正常使用 $a$ 小时，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电——耗电——充电”的总时间是8小时，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\frac{27}{8}$ D、3

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4. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 $h （ c m ）$ 与注水时间 $t （ m i n ）$ 的函数图象大致是下列各选中的（）

A、 B、 C、 D、

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5. 周末，小张、小李两人相约沿鲲鹏径同一路线从 $A$ 处骑行至 $B$ 处，小张、小李分别以不同的速度匀速骑行，小李比小张早出发 $5$ 分钟．小李骑行 $25$ 分钟后，小张以原速的 $\frac{8}{5}$ 继续骑行，小李骑行一段时间，小张先到达 $B$ 地，小李一直保持原速前往 $B$ 地．在此过程中，小张、小李两人相距的路程 $y$ （单位：米）与小李骑行的时间 $x$ （单位：分钟）之间的关系如图所示．有以下几个结论①小李的速度为 $300$ 米/分钟；②小张出发 $50$ 分钟追上小李；③ $A 、 B$ 两地相距 $2000$ 米；④小李比小张晚 $\frac{25}{3}$ 分钟到达 $B$ 地．其中正确的是（）

A、①② B、①④ C、①②③ D、①③④

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6. 若函数 $y_{1}$ 的图象上存在点 $P$ ，函数 $y_{2}$ 的图象上存在点 $Q$ ，且 $P 、 Q$ 关于 $y$ 轴对称，则称函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有“对偶关系”，此时点 $P$ 或点 $Q$ 的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
①函数 $y_{1} = 2 x + 3$ 与函数 $y_{2} = - x + 1$ 不具有“对偶关系”；
②函数 $y_{1} = 2 x + 3$ 与函数 $y_{2} = - x + 1$ 的“对偶值”为 $- 1$ ；
③若1是函数 $y_{1} = k x + 3$ 与函数 $y_{2} = \frac{1}{x}$ 的“对偶值”，则 $k = 2$ ：
④若函数 $y_{1} = - 2 x + b (- 2 \leq x \leq - 1)$ 与函数 $y_{2} = \frac{1}{x} (x > 0)$ 具有“对偶关系”，则 $3 \leq b \leq \frac{9}{2}$ ．
其中正确的是（　　）

A、①④ B、②③ C、①③④ D、②③④

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7. 教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示：
①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升；
②饮水机里的水全部放完，需要20分钟；
③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟；
④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水；
以上结论正确的有（　　）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示.现有下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时， $t = \frac{5}{4}$ 或 $\frac{15}{4}$
其中正确的结论有( ).

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山 $5.5$ 分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 已知两地相距300千米，甲骑摩托车从 $A$ 地出发匀速驶向 $B$ 地，当甲行驶1 $h$ 后，乙骑自行车以 $20 k m / h$ 的速度从 $B$ 地出发匀速驶向 $A$ 地.甲到达 $B$ 地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离 $y$ （ $k m$ ）与甲行驶时间 $x (h)$ 之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点 $P$ 的纵坐标为240；③线段 $Q M$ 所在直线的解析式为 $y = 40 x - 160$ ；④当 $x = \frac{13}{4}, \frac{19}{4}, \frac{11}{2}$ 时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 甲、乙两人在一条笔直的健身步道上同起点、同终点、同方向匀速步行2400m，先到达终点的人原地休息。已知甲先出发4min，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(m)与甲出发的时间t(min)之间的关系如图所示，则甲、乙两人之间距离的最大值是m。

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12. 如图1，在长方形ABCD中，动点 P 从点B 出发，沿 BC-CD-DA 的方向运动，至点A 处停止。设点 P 运动的路程为x，△ABP 的面积为S，S与x的关系如图2所示。当S=2时，对应的x的值是。

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13. 某水池上方有一个进水管，底部有一个排水管，先打开进水管，3小时后同时打开排水管(进水和排水都是匀速的)，该水池内水的体积V(m³)与时间t(h)之间的函数关系如图所示、则水池从开始进水到全部排出所需要的时间是(h)。

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14. 某校八年级组织了一场趣味运动会，甲、乙两组同学参加“背夹球竞走”比赛。下图反映了比赛过程中，两组同学距离出发点的距离y(m)与比赛时间x(s)的函数关系。根据函数图象，可知甲、乙两组同学比赛途中两次相遇所间隔的时间为s。

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15. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45min，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇.已知货车的速度为60km/h，两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100km/h；
②甲、乙两地之间的距离为120km；
③图中点B 的坐标为( $3 \frac{3}{4}$ ， 75)；
④快递车从乙地返回时的速度为90km/h.
以上4个结论中正确的是(填序号).

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16. 已知函数y=y₁-y₂ ，其中y₁与x-1成正比例，y₂与2x+3成正比例，且x=1时，y=-5；x=3时，y=-3，则y关于x的函数表达式为.

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买。已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙超市的优惠条件是每本都按标价的85%出售。

(1)、当小明要买20本时，到哪家超市购买较省钱?

(2)、写出在甲超市购买，总价y甲(元)与购买本数x(本)(x>10)之间的关系式。

(3)、小明现有24元，最多可以买多少本练习本?

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18. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）的相关数据，用函数图象表示如下．

(1)、电池充满电时的电量为千瓦时；

(2)、求BC所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

(3)、小明爸爸计划满电量状态下开车去距家240km的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由．

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19. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时休息1min后继续按原速骑行至 B地，甲到达B 地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A 地。甲、乙两人距A地的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示。请结合图象，解答下列问题：

(1)、甲骑行的速度为m/min，乙步行的速度为m/min，A，B两地之间的距离为m；

(2)、求甲返回时距A地的距离y(m)与时间x(min)之间的关系式；(不需要写出自变量的取值范围)

(3)、两人出发后，在甲返回到A地之前，设第 xmin时，两人距C地的距离相等，请直接写出x的值。

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20. 某品牌手机专卖店销售3台A型号手机和1台B型号手机可获得利润1700元，销售2台A型号手机和3台B型号手机可获得利润2300元．该专卖店计划购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不低于B型号手机的3倍，设购进A型号手机x台，这100台手机售完后获得的利润为w元．

(1)、求w关于x的函数解析式；

(2)、购进A，B两种型号的手机各多少台时，售完获得的利润最大？

(3)、实际进货时，代理商对A型号手机的出厂价下调了m（ $0 < m \leq 150$ ）元，且限定该专卖店最多购进A型号手机90台，若专卖店对A，B两种型号手机的售价保持不变，请你设计出销售完这100台手机后总利润最大的进货方案．

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21. 已知如图1，点A坐标为 $(0, 2)$ ，经过点A的直线 $l : y = k x + 2$ ，交x轴于点B．

(1)、若直线 $l$ 经过点 $(2, 6)$ ，
①求k的值；
②求线段 $A B$ 的长；
③直接写出点O到直线 $l$ 的最短距离．

(2)、若 $S_{△ O A B} = 10$ ，求 $k$ 的值．

(3)、如图2，在第一象限有一条线段 $M N$ ，其中点 $M (2, 4)$ ，点 $N (6, 4)$ ，从点 $A$ 出发的直线 $l$ 经过x轴反弹后与线段 $M N$ 有交点，请直接写出k的取值范围．

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22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $A B$ 分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为 $(- 3, 0)$ ，点B坐标为 $(0, 6)$ ．点 $C (- 2, m)$ 在直线 $A B$ 上．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式；

(2)、点D是x轴上的一个动点，当 $S_{△ A O B} = S_{△ A C D}$ 时，求点D坐标；

(3)、如图2，点E坐标为 $(0, - 1)$ ，连接 $C E$ ，在直线 $A B$ 上是否存在一点P，使得 $∠ C E P = 45 °$ ，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 学习一次函数后，小宁知道：若已知直线上两个点的坐标，就能用待定系数法求出该直线的解析式．例如：已知直线 $l$ 的解析式为 $y = - 2 x + 4$ ，分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ．求直线 $l$ 关于 $x$ 轴的对称直线 $l_{1}$ 的解析式．解题思路为：
第一步：求出 $A$ ， $B$ 两点的坐标；
第二步：求出点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $C$ 的坐标；
第三步：由 $A$ ， $C$ 两点的坐标，用待定系数法，即可求出直线 $l_{1}$ 的解析式．
阅读以上材料，完成下列任务．

(1)、直接写出点 $B$ 的坐标；

(2)、若直线 $l_{2}$ 与直线 $l$ 关于 $y$ 轴对称；
①求出直线 $l_{2}$ 的解析式；
②在①的条件下，若点 $P$ 为直线 $l_{2}$ 上的一个动点，当点 $P$ 的横、纵坐标之和为3时，求点 $P$ 的坐标；
③在②的条件下，将直线 $l_{2}$ 向下平移 $n$ 个单位长度后得到直线 $l_{3}$ ，若直线 $l_{3}$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，且满足 $S_{△ P O M} = 3$ 时，求 $n$ 的值．

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第四章《 一次函数》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共7题，共72分）

第四章《一次函数》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷