人教版九年级上学期数学期中仿真模拟测试二（范围25-27章）

试卷更新日期：2026-09-22 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、只有一个实数根

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2. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为（　　）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，图象过点 (-1，0)，对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的是（）
①4a+b=0； ②9a+c>3b；
③若点A( -3，y₁)、点 B(( $\frac{1}{2}$ ， y₂)、点 $\frac{7}{2}$ (，y₃) 在该函数图象上，则y₁
④若方程a(x+1)(x-5) =-3的两根为 xt和x₂ ，且x₁₁<-1<5
其中正确的结论有( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 对于二次函数 $y = 2 x^{2} + 9 x + k$ ，当自变量 $x$ 分别取 $x_{1}$ 和 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ 时，函数的值相等，那么当自变量 $x$ 的取值为 $x_{1} + x_{2}$ 时，其函数值与（）．

A、 $x = 0$ 时的函数值相等 B、 $x = 1$ 时的函数值相等 C、 $x = \frac{1}{4}$ 时的函数值相等 D、 $x = - \frac{9}{4}$ 时的函数值相等

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5. 如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 和 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 如图，一次函数 $y = k x + 3 (k > 1)$ 的图象过点 $A (1, a), B (b, \frac{5}{2})$ ，若反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象与线段 $A B$ 只有一个交点，则 $m$ 的值不可能为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、3 D、4

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7. 如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温 $y (° C)$ 与通电时间 $x (m i n)$ 成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温 $y$ 与通电时间 $x$ 之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）．

A、水温从20℃加热到80℃，需要 $3 m i n$ B、水温下降过程中， $y$ 与 $x$ 的函数关系式是 $y = \frac{400}{x}$ C、接通电源后， $16 m i n$ 时，水温为25℃ D、在一个周期内水温不低于40℃的时间为 $8 m i n$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

8. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 无实数根，则一次函数 $y = m x + m$ 的图象不经过第象限．

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9. 若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 8 x + n = 0$ 的一个解，则 $n$ 的值为．

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10. 如图，已知一次函数y＝x+6的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第二象限分别交于点A和点B，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点D和点C．当四边形ABCD的面积为12时，则k＝．

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11. 如图 $1$ ，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图 $2$ 是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点 $O$ 射出，水流运动的高度 $y (cm)$ 与水平距离 $x (cm)$ 近似满足函数关系 $y=− \frac{1}{10} x^{2} +4x (x≥0)$ ．若这只昆虫在点 $P (20，50)$ ，则这次射出的水流击中昆虫．（填“能”或“不能”）

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

12. 我们给出定义：若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根为x₁ ， x₂(x₁≤x₂)，分别以x₁ ， x₂为横坐标和纵坐标得到点M(x₁ ， x₂)，则称点M为该一元二次方程的衍生点.

(1)、若方程为 $x^{2} - 3 x + 2 = 0,$ 则该方程的衍生点 M 的坐标为；

(2)、若关于x的一元二次方程： $x^{2} - (5 m + 1) x + 5 m = 0$ 的衍生点为 M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；

(3)、是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的衍生点M始终在直线y= kx+2(k+3)上? 若存在，请求出b， c的值，若不存在，请说明理由.

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13. 用适当的方法解下列方程.

(1)、 $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9;$

(2)、 $4 x^{2} + 4 x + 1 = 3 (2 x + 1) .$

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14. 某超市购入一批进价为20元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量 $y$ （盒）与销售单价 $x$ （元）有如下表的关系．
销售单价 $x$ （元）
…
40
42
44
46
48
…
销售量 $y$ （盒）
…
80
76
72
68
64
…

(1)、根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点 $(x, y)$ 并连线．观察图象，求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、设日销售总利润为 $w$ （元）
①直接写出 $w$ 与 $x$ 的函数关系式：__________；
②糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、若进价上涨 $m$ 元，且超市每日固定成本为482元，该种糖果日销售获得的最大利润为1200元，求 $m$ 的值（日利润 $=$ （售价 $-$ 进价） $\times$ 日销量 $-$ 日固定成本）．

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15. 如图1，公园草坪的地面 $O$ 处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在 $O$ 处，水线落地点为 $A$ ， $O A = 4 m$ ；若喷水口上升 $1.5 m$ 到 $P$ 处，水线落地点为 $B$ ， $O B = 6 m$ ．

(1)、求水线最高点与点 $B$ 之间的水平距离；

(2)、当喷水口在 $P$ 处时，
①求水线的最大高度；
②身高 $1.5 m$ 的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与 $O$ 的水平距离应满足什么条件？请说明理由．

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16. 某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个 12元，标价为每个20元.

(1)、商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个 16.2元售出，求每次降价的百分率；

(2)、市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个.
①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元?
②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元?此时最大利润为多少元?

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17. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计滑雪爱好者滑雪轨迹问题？
素材1	图1是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台 $A B$ 长为 $1$ 米，平台 $A B$ 距地面 $18$ 米．以地面所在直线为 $x$ 轴，过点 $B$ 垂直于地面的直线为 $y$ 轴，取 $1$ 米为单位长度，建立如图2的平面直角坐标系．已知滑道对应的函数为 $y = \frac{1}{5} x^{2} - 4 x + c$ ．
素材2	运动员（看成点）在 $B A$ 方向获得速度 $v$ 米 $/$ 秒后，从 $A$ 处向右下飞向滑道，点 $M$ 是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为 $t$ 秒，运动员与点 $A$ 的竖直距离为 $h$ 米，运动员与点 $A$ 的水平距离为 $l$ 米．
素材3	实验表明： $h = 6 t^{2}$ ， $l = v t$ ．
素材4	滑雪场规定：滑雪爱好者在飞行的过程中，若 $5 \leq x \leq 7$ 时，飞行的高度与跳台滑道的垂直距离在 $8 ~ 10$ 米的范围内即可获得奖励．
问题解决
任务1	确定滑道形状	根据图2，求滑道抛物线的解析式；
任务2	确定滑雪爱好者与滑道位置关系	根据图3，当 $v = 5$ ， $t = 1$ 时，判断此时滑雪爱好者是否在滑道上？
任务3	确定滑雪爱好者的滑雪方案	滑雪爱好者从 $A$ 处飞出，飞出的路径近似看成函数 $y = - \frac{1}{5} x^{2} + \frac{2}{5} x + t$ ，若该滑雪爱好者能够获得奖励，求整数 $t$ 的值．

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18. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = - x^{2} - 2 b x + 4$ （b为常数) 与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线 $x = - 2$ .

(1)、求b的值；

(2)、若点C（m，8)是抛物线上的点，且 $m < - 2$ ，求证：点A， B， C三点共线；

(3)、点 $P (t - 3, p)$ ， $Q (l, q)$ 是抛物线上的两点，记抛物线在P， Q之间的部分为图象G（包含P， Q两点），若图象G上任意 $(t < - \frac{1}{2})$ 两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值.

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销售单价 $x$ （元）	…	40	42	44	46	48	…
销售量 $y$ （盒）	…	80	76	72	68	64	…