人教版八年级数学上册第十五章单元测试

试卷更新日期：2026-09-15 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 2026年美加墨世界杯是自1930年首届世界杯以来举办的第23届世界杯.历届世界杯都各具特色，会徽设计也蕴含了不同的文化.下列世界杯会徽图案中，是轴对称图形的是( )

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $△ A B C (A C < B C)$ ，用尺规作图的方法在 $B C$ 上确定一点P ，使 $P A + P B = B C$ ，则符合要求的作图痕迹是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在平面直角坐标系 xOy中，点A与点 A₁：关于x轴对称，点A 与点 A₂关于y轴对.已知点A₁(1， 2)，则点 A₂的坐标是( )

A、(-2， 1) B、(-2，-1) C、(-1，2) D、(-1，-2).

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4. 如图，在锐角 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的垂直平分线分别交边 $A B$ 、 $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，边 $A C$ 的垂直平分线分别交边 $A C$ 、 $B C$ 于点 $F$ 、 $G$ ．若 $G E = 2$ ， $B C = 8$ ，则 $△ A E G$ 的周长为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C = 6$ ，点D是边 $B C$ 的中点，点E，F分别在边 $A B$ ， $A C$ 上．若 $A E = C F$ ，则四边形 $A E D F$ 的面积是（）

A、18 B、12 C、9 D、不能确定

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6. 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90， ∠BAC=30°， AD平分∠BAC交 BC于点 D， E为 AD的中点， EF⊥AD交 AB于点 F，若 $C D = 4 \sqrt{3},$ 则 AF的长为( )

A、3 B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、 $8 \sqrt{3}$

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7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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8. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⟂ B C$ 于点 $E$ ，若 $C E = 2$ ，则 $B C$ 的长为 ( )

A、4 B、6 C、8 D、10

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9. 图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是 $80 c m$ ，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为 $10 c m$ ，且与闸机侧立面夹角 $∠ P C A = ∠ B D Q = 30 °$ ，则双翼的边缘 $A C 、 B D$ （ $A C = B D$ ）的长度为（）

A、 $35 \sqrt{3} c m$ B、70 $c m$ C、 $35 \sqrt{2}$ $c m$ D、80 $c m$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

10. 已知 $M (a - 1, 3)$ 和 $N (2, b + 1)$ 关于x轴对称，则 $(a + b)^{2025}$ 的值为．

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11. 如图所示的网格是正方形网格，则 $∠ D A C - ∠ A C B =$ $°$ （点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是网格线交点）．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $B F ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $D E = 5 cm$ ，则 $B F =$ cm．

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13. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在边 $A B, A C$ 上， $D E ∥ B C$ ，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $E B = E F$ ，若 $B D = 6$ ， $B F = 12$ ，则线段 $D E$ 的长为．

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14. 如图，已知边长为6的等边三角形ABC的两顶点A，B分别在直角墙面上滑动，连结OC，则OC的长的最大值是。

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

15. 如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点 G，且 AD=AB， E， F分别是边 AB， AC上的点，且∠EDF=60°.

(1)、求证： △ABD是等边三角形；

(2)、若 AB=AC=10， AE=7，求 AF的长.

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16. 已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．

(1)、如图1，若∠ABC=∠ADC=90°请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；

(2)、如图，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

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17. 如图所示，网格图中的每个小格均为边长是1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点C的坐标为 $(5, 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $C_{1}$ 的坐标．（保留作图痕迹，不写画法，以下同）

(2)、在第三象限的格点上确定一点M，使 $△ B C_{1} M$ 是以 $B C_{1}$ 为底的等腰直角三角形，画出 $△ B C_{1} M$ ，并写出点M的坐标．

(3)、在x轴上画出点P，使得 $P A + P C$ 的值最小．

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18. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ A C B = 40 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交边 $A C$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 为等腰三角形．

(2)、若 $∠ B A C$ 的平分线 $A E$ 交边 $B C$ 于点 $E$ ，如图2，求证： $B D + A D = A B + B E$ ．

(3)、若 $△ A B C$ 的外角平分线 $A E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $E$ ，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论．

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19. 综合与探究
【课本内容】
如图1，连接 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 和它所对的边 $B C$ 的中点 $D$ ，所得线段 $A D$ 叫做 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线．

【尝试应用】
（1）学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，请你根据这个提示写出证明“ $△ A D C ≌ △ E D B$ ”的推理过程，并求出 $A D$ 的取值范围．

反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题处理】
（2）如图3，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线， $F$ 是 $A B$ 上的一点， $C F$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $A B = C E$ ，求证： $F A = F E$ ；

【拓展提升】
（3）如图4，在等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 是边 $A C$ 上一定点，点 $D$ 在边 $B C$ 上，以 $D E$ 为边作等边 $△ D E F$ ，连接 $C F$ ．请直接写出 $C D$ ， $C E$ ， $C F$ 之间的数量关系．


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20.

(1)、如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢?猜想：在 $△ A B C$ 中，如果AB>AC，则∠C ▲ ∠B (填写“>”“<”或“=”)，请证明你的猜想；

(2)、如图2，在△ABC中(AB>BC)， BP平分∠ABC交AC于点D，连接AP， CP. 判断AB-BC与PC-PA的大小关系，并证明；

(3)、如图3，在△ABC中， ∠A=60°， △ABC的角平分线BF， CE交于点 D，若 $\frac{D E}{C D} = \frac{5}{7} ，$ 则 $\frac{B D}{C D} =$ .

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