人教版九年级数学上册第二十六章单元测试

试卷更新日期：2026-09-15 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 由二次函数 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ ，可知（）

A、其图象的开口向下 B、其图象的对称轴为直线 $x = - 3$ C、其图象与y轴交点的纵坐标为1 D、当 $x < 3$ 时，y随x的增大而减小

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2. 如果点 $M_{1} (- 1, y_{1}), M_{2} (2, y_{2}), M_{3} (3, y_{3})$ 三点都在抛物线 $y = x^{2} - 4 x + c$ 的图象上，那么 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 与 $y_{3}$ 之间的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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3. 抛物线 $y = a x^{2}$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点（0，2026)，则a的值是（）

A、- 2023 B、2023 C、2026 D、2029

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 1 (a \neq 0)$ 的图象的顶点在第一象限，且过点(-1，0).设 t=a+b+1，则 t值的变化范围是( )

A、0<t<1 B、0<t<2 C、1<t<2 D、-1<t<1

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5. 若一次函数 $y = a x + b$ 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象只可能是（）

A、 B、
C、 D、

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6. 已知二次函数 $y = (x - 2) (x - 3)$ ，若关于 $x$ 的方程 $(x - 2) (x - 3) = m (m < 0)$ 的实数根为 $α$ ， $β$ ，且 $α < β$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $α < 2$ ， $β < 3$ B、 $2 < α < β < 3$ C、 $2 < α < 3 < β$ D、 $α < 2 < β < 3$

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7. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分.按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y(cm)与水平距离x(cm)的关系可以表示为 $y = - 0.1 x^{2} + 6 x$ ，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是( )

A、9 cm B、30cm C、90 cm D、360cm

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8. 根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过 xs离地面的高度(单位： m)为10x-4.9x².根据该规律，下列对方程 $10 x - 4.9 x^{2} = 5$ 的两根x₁≈0.88与x₂≈1.16的解释正确的是( )

A、小球经过约1.02s离地面的高度为5m B、小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C、小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 D、小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s

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9. 如图，正方形EFGH的顶点 E， F， G， H分别在正方形 ABCD的四条边上，且AB=a，则正方形 EFGH面积的最小值为（）

A、 $\frac{a}{4}$ B、 $\frac{1}{4} a^{2}$ C、 $\frac{a}{2}$ D、 $\frac{1}{2} a^{2}$

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $D (- 1, 2)$ ，与x轴的一个交点A在点 $(- 3, 0)$ 和 $(- 2, 0)$ 之间，其部分图象如图，则以下结论：① $b^{2} - 4 a c < 0$ ；②当 $x > - 1$ 时，y随x增大而减小；③ $a + b + c > 0$ ；④若方程 $a x^{2} + b x + c - m = 0$ 没有实数根，则 $m > 2$ ；⑤ $3 a + c < 0$ ．其中正确结论的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 若二次函数 $y = m x^{m^{2} - 1} + 3 x + (m - 4)$ 有最小值，则 $m$ 的值是．

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c是已知数，且 $a \neq 0$ ）的x与y的部分对应值如表，则当 $x = 4$ 时， $y =$ ．
x
…
$- 1$
0
1
2
3
…
y
…
$15$
$10$
7
6
7
…

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13. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图像如下，则代数式 $4 a + 2 b + c$ 的值为．

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14. 如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 8$ 表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架 $D E F G$ ，点 $D, G$ 在抛物线上，若 $D E : E F = 3 : 2$ ，则脚手架 $D E$ 的高度为米．

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15. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的解为．

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

16. 某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

(3)、每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？

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17. 如图，用长为22m的篱笆和一面墙(墙的最大可用长度为14m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃.为了方便出入，在建造花圃篱笆时，在 BC 边上用其他材料做了宽1m 的两扇小门.

(1)、设花圃的一边AB长为 xm，请你用含有x的代数式表示另一边AD 的长为m.

(2)、若此时花圃的面积刚好为 $45 m^{2},$ ，求此时花圃的长与宽.

(3)、在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到 $60 m^{2},$ ，请说明理由.猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少?

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18. 【阅读理解】
同学们，我们来学习近似计算二次方程解的方法．
例如，求 $2 x^{2} + 2 x - 7 = 0$ 的解．
思路：在二次函数 $y = 2 x^{2} + 2 x - 7$ 中，若取x的值为 $x_{1}, x_{2}, x_{1} < x_{2},$ 使得相应的函数值 $y_{1} \cdot y_{2} < 0,$ 则抛物线与x轴的交点中至少有一个在 $(x_{1}, 0)$ 与 $(x_{2}, 0)$ 之间，也就是说，方程 $2 x^{2} + 2 x - 7 = 0$ 至少有一个解在 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 之间．

(1)、【尝试探究】
小明按照上述方法求方程 $2 x^{2} + 2 x - 7 = 0$ 的一个解，过程如下表：
x的值
0
1
2
3
$y = 2 x^{2} + 2 x - 7$
$- 7$
a
b
c
请利用表格信息，求出方程的解在哪两个相邻的整数之间．

(2)、【迁移应用】
若关于x的方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 有两个不同的解，恰有一个解落在-4与-3之间，求m的取值范围．

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19. 某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长 $2.7 m$ ，球网位于球台正中间，球网高 $0.15 m$ ，球网与原点O的水平距离为 $1.35 m$ ．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当 $O A = 0.4 m$ 时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为 $0.5 m$ ，距离球台水平面的高度为 $0.45 m$ ．

(1)、求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；

(2)、请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网；

(3)、乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为 $0.2 m$ ．若最佳击球高度为 $0.15 m$ ，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离．

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20. 在函数的研究中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括归纳函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = \{\begin{cases} \frac{3}{4} {(x + 1)}^{2} - 1, (x \leq 1) \\ x + 1, (x > 1) \end{cases}$ 的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题

(1)、列表：
$x$
…
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
$y$
…
$\frac{23}{4}$
2
$m$
$- 1$
$- \frac{1}{4}$
2
$n$
…
写出表中 $m, n$ 的值： $m =$ ___________， $n =$ ___________；

(2)、描点、连线：请根据表中各组对应值，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；

(3)、请根据（2）中画出的函数图象，写出该函数的一条性质：___________．

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21. 综合与实践：
当下快递行业高速发展.某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧.
【探索过程】
步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；
步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长40cm，宽30cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠90°，这样便可以制作完成一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边长为 $x c m$ ，长方体的长、宽、高的和为 $y c m$ ，长方体包装盒的下底面积为 $S c m^{2}$ .
【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒.
【解决问题】请按要求完成下列任务：

(1)、分别求 $y$ 关于 $x$ ， $S$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、若设计的长方体包装盒的下底面积为 $352 c m^{2}$ ，求 $x$ 的值；

(3)、经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20cm且不高于44cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的下底面积 $S$ 的最大值及剪去的小正方形的边长.

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22. 已知，抛物线y＝ax²﹣2a²x﹣3a（a≠0），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)、抛物线的对称轴为（用含有a的式子表示）；

(2)、若当﹣1＜x＜2时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围；

(3)、如图1，当a＝1时，点E（m，n）为第四象限的抛物线上一点，过点E作EF∥x轴与抛物线另外一个交点为点F．
①连接BC，过点E作EH∥y轴，交BC于点H，以EF，EH为邻边构造矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为 $\frac{9}{2}$ 时，求m的值；
②以EF所在直线为对称轴将抛物线位于EF下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围．

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$x$	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
$y$	…	$\frac{23}{4}$	2	$m$	$- 1$	$- \frac{1}{4}$	2	$n$	…

x的值	0	1	2	3
$y = 2 x^{2} + 2 x - 7$	$- 7$	a	b	c