26.4实际问题与二次函数-人教版九年级上同步分层训练

试卷更新日期：2026-09-11 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 若小敏骑单车从奥体中心回家的时间 $y$ （单位： $m i n$ ）受骑车速度 $x$ （单位： $k m / h$ ）的影响，其关系可以用 $y = x^{2} - 8 x + 45$ 描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（）

A、37分钟 B、36分钟 C、34分钟 D、29分钟

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2. 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度 h（m)与水平距离 x（m)之间的关系大致为抛物线 $h = - \frac{1}{10} x^{2} + \frac{3}{5} x + \frac{8}{5},$ 则小强本次投掷实心球的成绩为（ )

A、8m B、9m C、10m D、3m

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3. 下列关于二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3$ 及其图象描述错误的是（）

A、抛物线的开口向下 B、抛物线与 $x$ 轴交点坐标为 $(- 3, 0)$ ， $(1, 0)$ C、当 $x = - 1$ 时， $y$ 取最大值4 D、当 $x > - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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4. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是 $s = - 1.8 t^{2} + 72 t$ ．飞机着陆后滑行（）秒才能停止

A、18 B、20 C、40 D、72

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5. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $h$ （单位： $m$ ）与小球的运动时间 $t$ （单位： $s$ ）之间的关系式是 $h = 30 t - 5 t^{2} (0 \leq t \leq 6)$ ．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要 $6 s$ ；
②小球运动中的高度可以是 $30 m$ ；
③小球运动 $2 s$ 时的高度小于运动 $5 s$ 时的高度．
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(2)、每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？

(3)、每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？

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7. 如图，这是某座抛物线形拱桥的示意图，当桥下水面的宽度 $A B$ 为 $20$ 米时，拱高 $O C$ 为 $5$ 米．现在有一艘高度为 $3.5$ 米的小船需要从桥下通过，为了安全通过，小船在桥下水面的宽度不能超过多少米?

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8. 王老师对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的关系可以表示为 $y = - \frac{1}{12} {(x - 4)}^{2} + 3$ ，铅球从出手到落地的路线如图所示．

（1）求铅球出手点的离地面的高度 $O A$ 为多少米；
（2）求铅球推出的水平距离 $O B$ 是多少米？

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二、能力提升

9. 根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球经过 xs离地面的高度(单位： m)为10x-4.9x².根据该规律，下列对方程 $10 x - 4.9 x^{2} = 5$ 的两根x₁≈0.88与x₂≈1.16的解释正确的是( )

A、小球经过约1.02s离地面的高度为5m B、小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C、小球经过约1.16s离地面的高度为5m，并将继续上升 D、小球两次到达离地面的高度为5m的位置，其时间间隔约为0.28s

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10. 小明从离地面高度为1.5m的点A 处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点 B 处第一次着地后弹起，点C处是第二次着地点.分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为 $y = a {(x - 1)}^{2} + 2,$ 在B 处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的 $\frac{1}{4}$
有下列结论：
①a=-1；②在B 处着地后弹起的最大高度为0.5m；
③弹力球第二次着地点 C距第一次抛出点的水平距离OC是5m.
其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式.图2中，发球机从中线OB的端点O的正上方0.25m处的A点发球，乒乓球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.45m，以O为原点，OB，OA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.记图2中球的落点为点E，则OE的长为（）

A、2.5m B、2.7m C、2.4m D、2.6m

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12. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为 $y = - \frac{1}{16} x^{2}$ ，正常水位时，水面宽 $A B$ 为 $16 m$ ，此时拱顶 $O$ 到水面 $A B$ 的距离为（　　）

A、 $4 m$ B、 $3 m$ C、 $2 m$ D、 $1 m$

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13. 如图，一位篮球运动员投篮时，球从 $A$ 点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度 $y (m)$ 与篮球距离出手点的水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系式是 $y = - \frac{1}{5} {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{7}{2}$ ．下列说法正确的是（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为 $3 .5m$ ；②篮球出手点距离地面的高度为 $2 .25m$ ．

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14. 二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 中，当1≤x≤5时y有最小值3，则实数m的值为.

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15. 根据以下素材，探索完成任务：

背景	第二届世界人形机器人运动会将于2026年8月22日至26日在北京举办，吸引众多队伍与科创企业参与．
素材1	与上届相比，本次运动会赛项更为丰富，新增了机器人拔河项目，该项目采用单循环赛制，每两支参赛队伍之间均比赛一次，最终通过积分、得失分率等指标确定名次，本次机器人拔河项目一共进行了55场比赛．
素材2	某品牌机器人8月份销售额为200万元，受赛事带动，该品牌机器人销售额连续两个月稳步增长，10月份销售额达到242万元．
素材3	该品牌机器人每台生产成本为6000元，定价为8000元时，平均每天能售出10台；售价每降低80元，平均每天就能多售出2台．为提高利润，某商家计划开展打折促销活动．
问题解决
任务1	根据素材1，求拔河项目共有多少支参赛队伍；
任务2	根据素材2，求该品牌机器人销售额的月平均增长率；
任务3	根据素材3，若想使该品牌机器人的利润最高，商家应该打几折出售?每日最高利润为多少元?

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16. 综合与实践·校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模
【研学背景】
某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律。若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点。
【坐标系建构】
以投放口地面竖直投影为原点O，水平投放方向为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，单位： m。

(1)、【初战实测·个案建模】
如图，首次试飞无人机悬停投放高度为4. 5m，物资水平飞行18m后在N(18，0)处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式；

(2)、【校准实验·定点标定】
如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变(与①相同)，轨迹经过标定靶点 P (6，3. 5)，求此时无人机悬停投放口离地高度；

(3)、【全域探究·通用建模】
为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹： $y = - \frac{1}{80} x^{2} + h (h⟩ 0),$ 场地中段6≤x≤10设有高1. 2m实训障碍墙；地面物资接收区为线段MN，端点 M (12，0)，N(18，0)；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区MN内(含端点M，N)，求投放口高度h的取值范围。

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三、拓展创新

17. 已知实数a，b（a≠b)满足 $a^{2} - 3 a - 1 = 0, b^{2} - 3 b - 1 = 0,$ ，则（ )。

A、 $a + b = 3, a^{2} + 2 b > 0$ B、 $a + b = 3, a^{2} + 2 b < 0$ C、a+b=-3，a²+2b>0 D、 $a + b = - 3, a^{2} + 2 b < 0$

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18. 在边长为 6 的正方形ABCD中，点P 、Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且 $D Q = \sqrt{2} A P,$ 则PQ的最小值为.

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19. 小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关。设瓶底离液面的距离h，小孔离液面的距离x，则喷射距离L满足关系式： $L = 2 \sqrt{x (h - x)} .$ 现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为h=24cm，为使水的喷射距离L 最大，则小孔离液面的距离x应为cm。

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20. 电子跳蚤可在复杂环境中执行任务.将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变.实验中，跳蚤从水平地面上的点O起跳，最终落在水平地面上的点P.以点O为原点，OP所在直线为x轴，过点O垂直于地面的直线为y轴，以1cm为一个单位长度建立平面直角坐标系xOy.已知OP=20cm，轨迹最高点距地面(x轴) 10cm.

(1)、求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式.

(2)、跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形ABCD，与运动轨迹在同一平面内.已知OA=28cm， AB=2cm， BC=7.5cm.若跳蚤先向挡板垂直方向爬行k米，再按(1)中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段CD(含端点C、D)，求爬行距离k的取值范围.

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21. 综合与实践：
当下快递行业高速发展.某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧.
【探索过程】
步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔；
步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长40cm，宽30cm的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠90°，这样便可以制作完成一个长方体盒子.如图，设剪去的小正方形的边长为 $x c m$ ，长方体的长、宽、高的和为 $y c m$ ，长方体包装盒的下底面积为 $S c m^{2}$ .
【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒.
【解决问题】请按要求完成下列任务：

(1)、分别求 $y$ 关于 $x$ ， $S$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、若设计的长方体包装盒的下底面积为 $352 c m^{2}$ ，求 $x$ 的值；

(3)、经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于20cm且不高于44cm时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的下底面积 $S$ 的最大值及剪去的小正方形的边长.

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