26.3二次函数与一元二次方程-人教版九年级上同步分层训练

试卷更新日期：2026-09-11 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 下表是满足二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的五组数据，x₁是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个解，则下列选项中正确的是（ )
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
-0.80
-0.54
-0.20
0.22
0.72

A、 $1.6 < x_{1} < 1.8$ B、 $1.8 < x_{1} < 2.0$ C、 $2.0 < x_{1} < 2.2$ D、 $2.2 < x_{1} < 2.4$

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2. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的图象与x轴的交点个数是( )

A、0个 B、1个 C、2个 D、不能确定

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3. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的解为．

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 x - 3$ 的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是．

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5. 对于二次函数y=x²+2x﹣5，当x=1.4时，y=﹣0.24＜0，当x=1.45时，y=0.0025＞0；所以方程x²+2x﹣5=0的一个正根的近似值是　．（精确到0.1）．

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6. 写出一条抛物线 $y = 2 x^{2} ， y = - 2 x^{2} ， y = \frac{1}{2} x^{2}$ 共有的性质：．

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7. 向上抛掷一个小球，小球在运行过程中，离地面的距离为y(m)，运行时间为x(s)，y与x之间存在的关系为y＝－ $\frac{1}{2}$ x²＋3x＋2.问：小球能达到的最大高度是多少？

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二、能力提升

8. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，现给出以下结论：① $a b c < 0$ ；② $c + 2 a < 0;$ ③ $9 a - 3 b + c = 0$ ；④ $a - b \geq m (a m + b)$ （ $m$ 为实数）；⑤ $4 a c - b^{2} < 0$ ．其中错误的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x + m$ 的图象经过 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 $x = - 2$ ；
②当 $m < 4$ 时，二次函数的图象与 $x$ 轴有两个交点；
③若 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $|x_{1} + 2| > |x_{2} + 2|$ ；
④当 $x \geq - 2$ 时，二次函数的图象与 $y = 2 x - 1$ 的图象有两个交点，则 $- 1 \leq m < 0$ ．
其中，正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 二次函数 $y = a {(x - 4)}^{2} + 4$ 的图象在 $- 1 < x < 1$ 这一段位于x轴的上方，在 $9 < x < 10$ 这一段位于 $x$ 轴的下方，则 $a$ 的值为（　　）

A、 $- \frac{4}{25}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、﹣1

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11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 中的x与y的部分对应值如表：
x
…
$- 1$
0
3
…
y
…
n
$- 3$
$- 3$
…
当 $n > 0$ 时，以下结论：① $b c < 0$ ；②当 $x > 2$ 时，y的值随x值的增大而减小；③ $n > 4 a$ ；④当 $n = 1$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + (b + 1) x + c = 0$ 的解是 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ ，其中结论一定正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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12. 二次函数. $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值如下表，则一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = - 6$ 的解为x=.
x
-2
-l
0
3
5
y
10
0
-6
0
24

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13. 下表给出了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中 x，y的部分对应值，估计方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个解 x的取值范围是 .
x
...
0.25
0.5
0.75
1
...
y
...
-1.69
-0.25
1.31
3
...

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 (a \neq 0) .$

(1)、求该函数图象的对称轴：

(2)、若a>0，当-1≤x≤2时， y的最大值为5，求函数的解析式；

(3)、已知M(x₁ ， m)， N (x₂ ， m)为该函数图象上两点，当 $4 \leq x_{2} - x_{1} \leq 6$ 时， m≥4，求a的取值范围.

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15. 根据以下信息，探索完成任务．

如何设计种植方案？

素材1

小明以“种植农作物”为主题在自己家 $100$ 平方米的土地上进行课外实践，现有 $A$ 、 $B$ 两种作物的相关信息如下表所示：

	$A$ 作物	$B$ 作物
每平方米种植株树（株）	$2$	$10$
单株产量（千克）	$1.2$	$0.5$

素材2

由于 $A$ 作物植株间距较大，可增加 $A$ 作物每平方米的种植株树．经过调研发现，每平方米种植 $A$ 作物每增加 $1$ 株， $A$ 作物的单株产量减少 $0.1$ 千克．

素材3

若同时种植 $A$ 、 $B$ 两种作物，实行分区域种植．

问题解决

单一种植（全部种植 $A$ 作物）

任务1：明确数量关系

设每平方米增加 $x$ 株 $A$ 作物（ $x$ 为正整数），则每平方米有　　株，单株产量为

　　千克．（用含 $x$ 的代数式表示）

任务2：计算产量

要使 $A$ 作物每平方米产量为 $4.8$ 千克，则每平方米应种植多少株？

分区种植（种植 $A$ 、 $B$ 两种作物）

任务3：规划种植方案

设这 $100$ 平方米的土地中有 $a$ 平方米用于种植 $A$ 作物，且每平方米产量最大，其余区域按照每平方米 $10$ 株种植 $B$ 作物，当这 $100$ 平方米总产量不低于 $496$ 千克时，则 $a$ 的取值范围是　　．

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三、拓展创新

16. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，-2）和（0，-3）之间，顶点为P，对称轴为直线x=2.下列说法：①abc＜0；②4a+b=0；③-1＜a＜- $\frac{2}{3}$ ；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB=90°时， $a = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .其中正确的是（）

A、②③④ B、②③ C、②④ D、①③④

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17. 如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3.有下列结论：
① $a b c < 0$ ； ② $9 a - 3 b + c > 0$ ； ③ $\frac{9}{4} < y_{最大值} < \frac{27}{8}$ ；④关于x的一元二次方程 $a x^{2} + (b - 1) x + c - 2 = 0$ 必有两个不相等实根；
⑤若点A( $x_{1}$ ， $y_{1}$ )， B( $x_{2}$ ， $y_{2}$ )， C( $x_{3}$ ， $y_{3}$ ) 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，且 $n < x_{1} < n + 1 < x_{2} < n + 2 < x_{3} < n + 3$ ，当 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ 时，则n的取值范围为 $- \frac{3}{2} < n < 0$ .
其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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18. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 a x + a^{2} - 2 a - 4$ ．（ $a$ 为常数）的图象与 $x$ 轴有交点，且当 $x > 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $a$ 的取值范围是．

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19. 如图， $A$ 是抛物线 $y_{1} = a x^{2} - 2$ 与 $y_{2} = b x^{2} - 2$ 的公共顶点，过点 $A$ 的直线与抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的另一个交点分别为 $B$ ， $C$ ，若 $A C = B C$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值是．

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20. 综合与探究
关于二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0),$ 数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究。

(1)、【特例研究】
当a=1时，二次函数为y₁= ▲ ，并在图 1中的平面直角坐标系画出其函数图象；
当a=2时，二次函数为 $y_{2} = 2 x^{2} - 4 x - 6,$ 其图象如图 1所示；
当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，二次函数为 $y_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + x + \frac{3}{2},$ 其图象如图 1所示；

(2)、观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 的 2条特征。

(3)、【深入探究】
对于二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0),$ 当a<0， - 2≤x≤2时， y的最大值与最小值的差为 6，求 a的值；

(4)、将 $y = a x^{2} - 2 a x - 3 a (a \neq 0)$ 在-2≤x≤2间的图象记为 G，若图象 G与直线y=x+1有 2个交点，请求出a的取值范围。

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x	1.6	1.8	2.0	2.2	2.4
y	-0.80	-0.54	-0.20	0.22	0.72

x	…	$- 1$	0	3	…
y	…	n	$- 3$	$- 3$	…

x	...	0.25	0.5	0.75	1	...
y	...	-1.69	-0.25	1.31	3	...