26.2二次函数的图象和性质-人教版九年级上同步分层训练

试卷更新日期：2026-09-11 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 嘉嘉用软件绘制抛物线 $y = 2 x^{2}$ 时，将“ $2$ ”按成了“ $- 2$ ”，和原图象相比，发生改变的是（）

A、开口大小 B、开口方向 C、对称轴 D、顶点坐标

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2. 下列关于二次函数 $y = x^{2}$ 的性质，说法不正确的是( ).

A、它的图象经过点(1，1) B、它的图象的对称轴是y轴 C、当x<0时，y随x的增大而减小 D、有最大值

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3. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + k$ （ $a \neq 0$ ， $k > 0$ ）的图象可能是下图中的（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 抛物线y＝2x²与y＝－2x²相同的性质是（）

A、开口向下 B、对称轴是y轴 C、有最低点 D、对称轴是x轴

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5. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向上平移 3个单位，再向左平移 1个单位，得到新抛物线为（ )

A、y=2 （x+1) ²+3 B、y=2 （x-1) ²+3 C、y=2 （x+1) ²-3 D、y=2 （x-1) ²-3

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6. 若二次函数 $y = m x^{m^{2} - 1} + 3 x + (m - 4)$ 有最小值，则 $m$ 的值是．

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7. 对于抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3 。$

(1)、求它与x轴交点的坐标和顶点坐标；

(2)、在坐标系中画出此抛物线的图象；

(3)、当-1<x<3时，求y的取值范围。

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二、能力提升

8. 当 ab>0 时，函数y=ax²与y=ax+b在同一坐标系中的图象大致是( )

A、 B、 C、 D、

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9. 已知抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + k$ 上有三点(-2，y₁)，(-1，y₂)，(2，y₃)，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系为( )

A、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ D、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$

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10. k为任意实数，抛物线 $y = a (x - k)^{2} - k (a \neq 0)$ 的顶点总在（）

A、直线 $y = x$ 上 B、直线 $y = - x$ 上 C、x轴上 D、y轴上

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11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象如图，则①a+b+c=0； ②4a-2b+c=m； ③a-b+c>m ；④abc<0，其中正确的是( )

A、①②③④ B、①②③ C、②③④ D、②③

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12. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴的两个交点之间的距离是4，将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是( )

A、3 B、4 C、5 D、6

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13. 二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 中，当1≤x≤5时y有最小值3，则实数m的值为.

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14. 甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系（如图所示）．求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度．

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三、拓展创新

15. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $a_{1} < a_{2} < a_{3}$ B、 $a_{3} < a_{1} < a_{2}$ C、 $a_{1} < a_{3} < a_{2}$ D、 $a_{3} < a_{2} < a_{1}$

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16. 定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，称该函数为增函数．根据以上定义，下列函数中① $y = 2 x$ ；② $y = - x + 1$ ；③ $y = x_{}^{2} (x > 0)$ ；④ $m x^{2} - (m - 1) x - 1 = 0$ ，是增函数的（）

A、①③④ B、①② C、③④ D、①③

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17. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的一部分如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x =1，有下列结论： ①abc>0； ②2a+b=0； ③方程 $a x^{2} + b x +$ c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2，0)；⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则 $a m^{2} + b m + c \leq a + b + c .$ 其中正确的有( )

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有如下结论
$①$ $a b c > 0$ ；
$②$ $8 a + c < 0$ ；
$③$ 若抛物线与y轴的交点在 $(0, - 3)$ 与 $(0, - 2)$ 之间（包含边界），则系数a的取值范围是 $\frac{2}{3} \leq a \leq 1$ ；
$④$ 若点 $A (t, m)$ ， $B (1 - t, n)$ ， $C (3 - t, p)$ 均在二次函数的图象上，若 $t < 0$ ，则 $n < m < p$ ．
其中正确的结论是．

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19. 如图， $A$ 是抛物线 $y_{1} = a x^{2} - 2$ 与 $y_{2} = b x^{2} - 2$ 的公共顶点，过点 $A$ 的直线与抛物线 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的另一个交点分别为 $B$ ， $C$ ，若 $A C = B C$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值是．

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20. 在平面直角坐标系中，平移抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ ，若其顶点在直线 $y = k x + b$ 上运动，则称直线 $y = k x + b$ 为抛物线的“ $k - b$ 型亲密线”．已知抛物线 $G$ ： $y = x^{2} - 2 h x + h^{2} + 2 h + 1$ ．

(1)、求抛物线 $G$ 的顶点坐标；

(2)、当 $h$ 的值变化时，求抛物线 $G$ 的“ $k - b$ 型亲密线”的表达式；

(3)、将抛物线 $G$ 平移得到抛物线 $G_{1}$ ，设抛物线 $G_{1}$ 与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $n$ ，顶点的横坐标为 $m$ ，当 $- 2 \leq m \leq 1$ 时， $n$ 有最小值为 $1$ ，若抛物线 $G_{1}$ 有“ $k - 3$ 型亲密线”，求 $k$ 的值．

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