人教版九年级数学上册第二十五章单元测试

试卷更新日期：2026-09-11 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若 $(3 - m) x^{m^{2} - 7} - x + 1 = 0$ 是一元二次方程，则m的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $\pm 3$ D、9

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2. 下列关于 $x$ 的方程中，一定有实数根的方程是（）

A、 $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ B、 $x^{2} - x + 1 = 0$ C、 $x^{2} + 2 x - m = 0$ D、 $x^{2} - m x + m - 1 = 0$

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3. 已知关于x的方程 $x^{2} - 3 x + a = 0$ 有一个根为1，则方程的另一个根为( )

A、- 1 B、1 C、2 D、- 2

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4. 若实数k，b是一元二次方程（x+3)（x-1)=0的两个根，且k<b，则一次函数y= kx+b的图象不经过（）。

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 将一元二次方程 $y^{2} - 1 = 2 y$ 化成( ${(y - m)}^{2} = n$ 的形式，则 ${(m - n)}^{2026} =$ （）

A、1 B、-2 025 C、2 025 D、-1

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6. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为 $30 cm$ 、宽为 $20 cm$ 的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为 $x cm$ ，根据题意可列方程（　　）

A、 $(30 + x) (20 + x) = 600$ B、 $(30 + 2 x) (20 + 2 x) = 600$ C、 $(30 - 2 x) (20 - 2 x) = 1200$ D、 $(30 + 2 x) (20 + 2 x) = 1200$

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7. 已知x₁ ， x₂是方程 $x^{2} + x - 5 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1}^{3} - 6 x_{2}^{2} + 40$ 的值是( )

A、1 B、- 1 C、2 D、- 2

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8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m² ．求车道的宽度．设停车场内车道的宽度均为xm，根据题意所列方程为（）

A、（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B、（40﹣x）（22﹣x）＝520 C、（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D、（40﹣2x）（22﹣2x）＝520

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

9. 已知关于x的一元二次方程 $(a + 1) x^{2} - 2 x + a^{2} + a = 0$ 有一个根为 $x = 0$ ，则a的值为.

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10. 若关于x的一元二次方程( ${(x + 2)}^{2} = m (2 x + 1)$ 中不含x的一次项，则m的值是。

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11. 已知关于x的方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0 (k \neq 0)$ 的两实数根为x₁ ， x₂ ，若 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} = 3$ ，则k=.

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12. 某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有个球队参加比赛．

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13. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有 $[m ， p] ※ [q ， n] = m n + p q$ ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如： $[2 ， 3] ※ [4 ， 5] = 2 \times 5 + 3 \times 4 = 22$ ．若关于x的方程 $[x^{2} + 1 ， x] ※ [5 - 2 k ， k] = 0$ ：有两个实数根，则k的取值范围是．

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三、解答题

14. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x - 4 = 0$ ；

(2)、 $5 {(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ ．

(3)、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ；

(4)、 ${(x - 2)}^{2} + x (x - 2) = 0$ ．

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15. 某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．

(1)、如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；

(2)、如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？

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16. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0 .$

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值.

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17. 如图，为了节约材料，利用一面墙(墙长20米)用总长度43米的篱笆围成一个矩形鸡舍ABCD，中间用篱笆隔开，且留两个1米宽的小门，设篱笆BC 长为x 米.

(1)、用含x 的代数式表示AB 的长；

(2)、若矩形鸡舍ABCD 的面积为150平方米，求篱笆BC 的长；

(3)、矩形鸡舍ABCD 的面积是否有可能达到210平方米?若有可能，求出相应x的值；若不可能，请说明理由.

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18. 某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入6株时，平均单株盈利4元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利y(元)与每盆的总株数x(株)成如图所示的一次函数关系．

(1)、每盆种植7株时，平均单株的盈利是多少元?

(2)、若要求每盆花苗超过6株，且每盆的盈利为32元，则每盆应种植多少株?

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19. 将 $x^{2} + 2 x - 35$ 分解因式，我们可以按下面方法：
①竖分二次项与常数项： $x^{2} = x \cdot x ， - 35 = (- 5) \times (+ 7) .$
x+7
x-5
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
x+7=7x，
7x+（-5x）=2x.
x-5=-5x
③横向写出两因式： $x^{2} + 2 x - 35 = (x + 7) (x - 5) .$
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”.
根据乘法原理：若ab=0，则a=0或b=0.所以方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 可以这样求解：方程左边因式分解得（x+7）（x-5）=0，所以原方程的解为x₁=-7，x₂=5.
【解决问题】

(1)、分解因式：x²+5x+4=（x+（x+；

(2)、试用上述方法和原理解下列方程：
① $x^{2} - 10 x + 21 = 0 ；$
② $2024 x^{2} + 2019 x - 5 = 0 .$

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20. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为x₁ ， x₂ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$
材料2：已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0, n^{2} - n - 1 = 0,$ 且m≠n，则m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根.

(1)、材料理解：一元二次方程 $3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 的两个根为x₁ ， x₂ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、应用探究：已知实数a，b满足： $a^{2} - 5 a + 1 = 0, b^{2} - 5 b + 1 = 0$ 且a≠b，求 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值；

(3)、思维拓展：已知实数m，n满足： $m^{2} + 5 m - 3 = 0,4 n^{2} + 10 n - 3 = 0,$ 求 $\frac{2 n}{m} + \frac{m}{2 n}$ 的值.

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