浙江杭州市观城实验学校2026-2027学年九年级上学期开学检测数学试题

试卷更新日期：2026-09-10 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知线段 $a = 1 ， b = 9$ ，线段c是线段a、b的比例中项，则 $c =$ （）

A、1 B、 $\pm 3$ C、3 D、9

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $t a n A =$ （）

A、 $\frac{B C}{A B}$ B、 $\frac{A C}{A B}$ C、 $\frac{B C}{A C}$ D、 $\frac{A C}{B C}$

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3. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D$ 是直径，若 $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ B A D$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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4. 1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表：
抛掷次数
1000
2000
3000
4000
5000
“针与直线相交”的频数
314
620
945
1257
1570
若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（）

A、2000 B、2500 C、3500 D、4000

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5. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（ $Parthenon$ ），如图把虚线表示的矩形画出图2中的 $A B C D$ ，以矩形 $A B C D$ 的宽为边在其内部作正方形 $A E F D$ ，我们惊奇的发现点 $E$ 是 $A B$ 的黄金分割点，则 $\frac{B E}{A B} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ ，连接 $O A$ ，已知 $C D = 10 ， A B = 8$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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7. 平移二次函数 $y = x^{2}$ 的图象，其顶点刚好经过点 $(2, 3)$ ，则平移后的函数解析式为（）

A、 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ B、 $y = {(x + 2)}^{2} - 3$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ D、 $y = {(x + 2)}^{2} + 3$

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8. 已知相似三角形的相似比为 $9 : 4$ ，那么这两个三角形的面积比为（）

A、 $9 : 4$ B、 $4 : 9$ C、 $3 : 2$ D、 $81 : 16$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，等腰三角形 $A B C$ 的底边 $B C$ 、腰 $A C$ 分别交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $E$ ，其中弦 $E F ⊥ A B$ ．连接 $O D$ ， $D F$ ，设 $∠ A = x$ 度， $∠ F D O = y$ 度，则（）

A、 $x + y = 90$ B、 $2 x + y = 180$ C、 $x + 2 y = 180$ D、 $3 x + 2 y = 180$

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10. 已知二次函数 $y = a {(x - a)}^{2} + x - a$ 的图象上有三点 $(a + 1, y_{1})$ ， $(a + 2, y_{2})$ ， $(a - 3, y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系不可能是（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ D、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$

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二、填空题

11. 一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，那么黑球的个数是.

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12. 半径为 $3 cm$ 的 $⊙ O$ 中， $60 °$ 圆心角所对的弧长为 $cm$ ．（结果保留 $π$ ）

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13. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c是已知数，且 $a \neq 0$ ）的x与y的部分对应值如表，则当 $x = 4$ 时， $y =$ ．
x
…
$- 1$
0
1
2
3
…
y
…
$15$
$10$
7
6
7
…

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14. 如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，求 $∠ A B D$ 的度数．

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15. 我国古代主流钱币一般采用外圆内方的形式铸造，其中最具代表性的是从秦朝开始流通的方孔圆钱．如图，在方孔圆钱的示意图中，圆心和正方形 $A B C D$ 的中心重合，分别延长 $A D$ ， $D C$ 交 $⊙ O$ 于点E，F．若 $⊙ O$ 的半径为2，正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $E F =$ ．

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16. 如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将△BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM.若FM∥CD，BC＝4.则AF＝

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三、解答题

17. 按要求进行计算．

(1)、 $2 {cos}^{2} 45 ° + tan 60 ° - sin 30 °$ ；

(2)、已知 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ，且 $x + y + z = 18$ ，求 $x$ 的值．

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18. 在不透明的盒子里装有红，黄，蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外其余都相同，其中红色卡片2张，黄色卡片1张，蓝色卡片1张．

(1)、从中任意抽取一张卡片，求抽到蓝色卡片的概率；

(2)、第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法，求两次抽到的都是红色卡片的概率．

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $A C$ 与半径 $O D$ 平行，连结 $B C$ 交 $O D$ 于点E．

(1)、求证： $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{B D}$ ；

(2)、若 $B C = 4$ ， $O D = 3$ ，求 $E D$ 的长．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点E，点F在 $B D$ 上，且 $∠ B A F = ∠ D B C$ ， $\frac{A B}{A F} = \frac{B C}{F D}$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A F D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $B C = 5$ ， $△ A D E$ 的面积为4，求 $△ B C E$ 的面积．

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21. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即若弦 $A B$ ， $C D$ 交于点 $P$ ，则 $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ ．

(1)、【定理证明】如图1，连结 $A C$ ， $B D$ ，求证： $P A \cdot P B = P C \cdot P D$ ．

(2)、【解决问题】如图2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦， $C$ 是 $A B$ 上一点， $A B = 15 cm$ ， $A C = 7 cm$ ， $O C = 5 cm$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB ， CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB ， CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F ，测得点E处俯角为60°，其中点A ， B ， C ， D ， E ， F ， O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94, c o s 70 ° \approx 0.34, t a n 70 ° \approx 2.75, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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23. 已知二次函数y＝ax²+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3．

(1)、若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式．

(2)、若（m ， n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m ， n的取值范围．

(3)、点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂）是函数图象上两个点，满足x₁+x₂＝2且x₁＜x₂ ，试比较y₁和y₂的大小关系．

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24. 如图， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线， $1 < \frac{B C}{A B} < \sqrt{3}$ ，点E、F分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，把 $△ A B E$ 和 $△ C D F$ 分别沿直线 $B E$ 、 $D F$ 折叠，使点A、C分别落在对角线 $B D$ 上的点G、H处，连接 $F G$ ．

(1)、求证： $B H = D G$ ．

(2)、若 $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，求线段 $F G$ 的长．

(3)、若 $F G ∥ C D$ ，求 $\frac{B D}{A B}$ 的值．

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抛掷次数	1000	2000	3000	4000	5000
“针与直线相交”的频数	314	620	945	1257	1570

x	…	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	$15$	$10$	7	6	7	…