浙教版数学九年级上册 3.5 圆内接四边形三阶训练

试卷更新日期：2026-09-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在 $\hat{A C}$ 上.若∠CBO=n°，则∠ADC=（）

A、 $9 0^{\circ} + n^{0}$ B、 $18 0^{\circ} - n^{\circ}$ C、 $19 5^{\circ} - n^{\circ}$ D、2n°

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2. 如图， △ACB和△ECD都是等腰直角三角形， CA=CB， CE=CD， △ACB的顶点 A在△ECD的斜边 DE上.下列结论中： ①△ACE≌△BCD；②∠CDB=45°； ③∠DAB=∠ACE； ④AE²+AD²=2AC² ，正确的有（ )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，在等腰 $Rt △ A C B$ 中， $C A = C B ， ∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，点 $E$ 在 $B D$ 上，连结 $C E$ ，作 $A F ⊥ C E$ 于点 $F$ ，连结 $D F$ ，则点 $E$ 从点 $D$ 向点 $B$ 移动过程中（点 $E$ 不与 $D$ 、 $B$ 重合）， $∠ D F E$ 角度的大小为（）

A、由小变大 B、由大变小 C、不变 D、不能确定

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4. 如图，已知△ABC是⊙O 的内接等边三角形，点D是AC上一点，连结BD， CD，若AB=10， ∠ABD=45°，则△BCD的周长为 ( )

A、 $10 + 10 \sqrt{2}$ B、 $10 + 10 \sqrt{3}$ C、25 D、 $15 + \frac{10 \sqrt{6}}{3}$

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5. 如图，线段 $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 是 $⊙ O$ 上一点，设 $∠ D A E = α$ ， $∠ D C B = β$ ．若 $A E ⊥ B C$ ， $B D = G D$ ，则（）

A、 $3 α + β = 270 °$ B、 $α + β = 180 °$ C、 $3 β - α = 270 °$ D、 $β - α = 90 °$

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $⊙ O$ 的直径为 $10$ ，四边形 $A B C D$ 的周长为 $y$ ， $B D$ 的长为 $x$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式是( )

A、 $y = \sqrt{2} x^{2} + 10 \sqrt{2}$ B、 $y = \sqrt{2} x + 10 \sqrt{2}$ C、 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} x^{2} + 10 \sqrt{2}$ D、 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} x + 10 \sqrt{2}$

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7. 如图，在边长为8的正方形 $A B C D$ 中，点O为正方形的中心，点E为 $A D$ 边上的动点，连结 $O E$ ，作 $O F ⊥ O E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $E F$ ， P为 $E F$ 的中点，G为边 $C D$ 上一点，且 $C D = 4 C G$ ，连接 $P A ， P G$ ，则 $P A + P G$ 的最小值为（）

A、10 B、 $4 \sqrt{7}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{29}$

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二、填空题

8. 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做角．如图，四边形 ABCD 是圆美四边形，其中 $∠ A$ 为美角，则：
⑴ $∠ A =$ 度：
⑵若 BC 为 $⊙ O$ 的内接正十二边形的一边， $C D = 5 \sqrt{2} c m$ ，则 BD = cm.

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9. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上， ∠B+∠E=156°，则 $\hat{C D}$ 所对的圆心角度数为 .

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上有一点 $E$ ，且 $C E = 4 A E$ ，点 $F$ 在 $D C$ 的延长线上，连接 $E F$ ，过点 $E$ 作 $E G ⊥ E F$ ，交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $G F$ 并延长，交 $A C$ 的延长线于点 $P$ ，若 $A B = 5$ ， $C F = 2$ ，则线段 $E P$ 的长是．

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11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；② $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{E M}$ ；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有（填序号）．

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12. 如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM^' ，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM^'的对称点C，画直线BC交OM^'于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④△ACD面积的最大值为 $\sqrt{3}$ a²；
其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）．

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三、解答题

13. 如图， $△ A B C ， A B = A C$ ，点E在 $B C$ 边上，以 $A E$ 为斜边，在 $A E$ 上方作 $R t △ A E F$ ，使 $∠ E A F = ∠ A B C$ ，延长 $C F$ 与 $B A$ 交于点G ．

(1)、当 $∠ A B C = 45 °$ 时，若 $C E = 1 ， B E = 3$ ，求线段 $A F$ 的长．

(2)、求证：点F为线段 $C G$ 的中点．

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14. 综合与探究
【问题情境】
如图①，在 $⊙ O$ 中，弦 $A D$ 平分圆周角 $∠ B A C$ ，我们将圆中以 $A$ 为公共点的三条弦 $A B, A C, A D$ 构成的图形称为“爪形 $A$ ”，弦 $A B, A C, A D$ 称为“爪形 $A$ ”的爪．

(1)、【猜想证明】如图②，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O, A B = B C$ ，连接 $B D$ ．
①试判断圆中是否存在“爪形 $D$ ”，并说明理由；
②若 $∠ A D C = 120 °$ ，延长 $D C$ 至点 $E$ ，使 $C E = A D$ ，连结 $B E$ ．试猜想 $A D, C D, B D$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、【深入探究】如图③，若 $A D ⊥ D C$ ，直接写出“爪形 $D$ ”的爪 $A D, B D, C D$ 之间的数量关系．

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15. 【问题探究】
（1）如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = B C$ ，点D为劣弧 $\overset{⏜}{A C}$ 上任意一点（点D不与点A、C重合），连接 $A D 、 B D 、 C D$ ，点D在运动的过程中始终有 $B D = A D + D C$ ，求 $∠ A B C$ 的度数；
【问题解决】
（2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形 $A B C D$ 进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为 $⊙ O$ 上的点， $A B = B C$ ， $\sqrt{2} B D = A D + D C$ ，请问该四边形 $A B C D$ 的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形 $A B C D$ 周长的最大值；若不存在，请说明理由．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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