人教版七年级上同步分层训练进位制的认识与探究

试卷更新日期：2026-09-02 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 我国传统文化博大精深，计算机使用的“二进制数”就可以用我国古老的八卦符号进行表示，如表展示了八卦符号及其表示的二进制数，根据对应规律，第五个八卦符号表示的二进制数为（）
符号
表示的二进制数
000
001
011
111

A、10 B、100 C、1000 D、10000

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2. 二进制在计算机科学中有着广泛的应用．计算机内部的所有操作都是基于二进制完成的，包括数据的存储、传输和处理．此外，二进制还用于数字电路设计、通信技术等领域，所以我们很有必要研究二进制．将十进制中数“65”转换为二进制数为（）

A、1000001 B、1000011 C、1001111 D、1111111

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3. 将二进制数 ${(11001)}_{2}$ 转化为十进制数为（）

A、5 B、10 C、20 D、25

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4. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制
十进制数 $1024 = 1 \times 10^{3} + 0 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 4$ ，记作1024；
八进制数 ${(1024)}_{8} = 1 \times 8^{3} + 0 \times 8^{2} + 2 \times 8^{1} + 4$ ，记作 ${(1024)}_{8}$ ；
五进制数 ${(1024)}_{5} = 1 \times 5^{3} + 0 \times 5^{2} + 2 \times 5^{1} + 4$ ，记作 ${(1024)}_{5}$ ；
二进制数 ${(1011)}_{2} = 1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 1$ ，记作 ${(1011)}_{2}$ ；
二进制数 ${(1101)}_{2}$ 转化为十进制数为（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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5. 日常生活中，我们用十进制来表示数，如 $3516 = 3 \times 10^{3} + 5 \times 10^{2} + 1 \times 10^{1} + 6 \times 1$ ．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的 ${(1010)}_{2} = 1 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 0 \times 1 = 10$ ，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的 ${(2021)}_{3}$ 表示的是十进制中的（）

A、54 B、60 C、61 D、73

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6. 在二维码中常用黑白方格表示数码 1 和 0，若图 R1-1 表示1011，则表示0110的图是( )

A、 B、 C、 D、

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7. 当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如 ${(10110)}_{2}$ ．

(1)、类比十进制的计数原理： $12035 = 1 \times 10^{4} + 2 \times 10^{3} + 0 \times 10^{2} + 3 \times 10^{1} + 5 ，$ 把一个二进制数转化为十进制数的方法为： ${(10110)}_{2} = 1 \times 2^{4} + 0 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 0 = 22$ ．
请你将二进制数 ${(10011)}_{2}$ 转化为十进制数：则 ${(10011)}_{2} =$ ________；

(2)、把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数37转化为二进制数：
$37 \div 2 = 18$ 余1
$18 \div 2 = 9$ 余0
$9 \div 2 = 4$ 余1
$4 \div 2 = 2$ 余0
$2 \div 2 = 1$ 余0
$1 \div 2 = 0$ 余1
所以 $37 = {(100101)}_{2}$
请你将十进制数15转化为二进制数，则 $15 =$ （       ） $_{2}$

(3)、二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．
二进制的四则运算口诀如下：
加法： $0 + 0 = 0$ ， $0 + 1 = 1$ ， $1 + 0 = 1$ ， $1 + 1 = 10_{2}$ ．
减法： $0 - 0 = 0$ ， $1 - 0 = 1$ ， $1 - 1 = 0$ ， $10_{2} - 1 = 1$ （同一数位不够减时，向高一位借1当2）．
请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空：
① ${(10110)}_{2} + {(1101)}_{2} =$ （       ） $_{2}$
② ${(1101)}_{2} - {(1010)}_{2} =$ （       ） $_{2}$

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二、能力提升

8. 第十四届国际数学教育大会 $（ ICME - 14 ）$ 会标（如图所示）蕴含着丰富的数学元素，体现了我国传统文化的博大精深．其在下方的“卦”是用我国古代的记数符号写出的八进制 ${(3745)}_{8}$ ，八进制数 ${(3745)}_{8}$ 换算成十进制数是 $3 \times 8^{3} + 7 \times 8^{2} + 4 \times 8^{1} + 5 \times 8^{0} = 2021$ ，表示 $ICME - 14$ 的举办年份．请按照上述方法将八进制 ${(2025)}_{8}$ 换算成十进制数为（）

A、16 B、72 C、1045 D、1012

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9. 二进制数 ${(101)}_{2}$ 可用十进制表示为 $1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} = 5$ ，同样地，三进制数 ${(102)}_{3}$ 可用十进制表示为 $1 \times 3^{2} + 0 \times 3^{1} + 2 \times 3^{0} = 11$ ．现有二进制数 $a = {(11101)}_{2}$ 、三进制数 $b = {(1010)}_{3}$ ，那么 $a 、 b$ 的大小关系是（）．

A、 $a < b$ B、 $b < a$ C、 $a = b$ D、不能确定

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10. 如图，是我们列竖式进行十进制加法运算 $236 + 365$ 的过程，十进制运算要注意满十进一，而七进制加法运算要注意满七进一，则七进制下的 ${(236)}_{7} + {(365)}_{7} =$ （）

A、 ${(591)}_{7}$ B、 ${(601)}_{7}$ C、 ${(694)}_{7}$ D、 ${(634)}_{7}$

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11. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”. 如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量. 由图可知，他一共捕到的鱼的数量为（）

A、26 B、34 C、194 D、1234

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12. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
则用十六进制表示 $3 A \times 5 B =$ ____________．

A、 $150 B$ B、 $145 E$ C、 $148 F$ D、 $149 E$

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13. 我们在生活中经常使用的数是十进制数，如2639＝2×10³＋6×10²＋3×10¹＋9，表示十进制的数要用到10个数码(也叫数字)：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，十六进制数71B＝7×16²＋1×16¹＋11＝1819，即十六进制数71B相当于十进制数1819.十六进制数1D9相当于十进制数( )

A、117 B、250 C、473 D、1139

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14. 日常生活中主要运用“十进制”数，而“十六进制”广泛应用于电子技术、计算机编程等领域.十六进制在数学中是一种“逢16进1”的进位制，一般用数字0到9和字母A到F表示，其中用A，B，C，D，E，F分别表示10，11，12，13，14，15。如（2AF5）₁₆表示十六进制数，将它转换成十进制形式是 $2 \times 1 6^{3} + 10 \times 1 6^{2} + 15 \times 1 6^{1} + 5 \times 1 6^{0} = 10997,$ 那么将十六进制数（7EA）16转换成十进制数为.

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15. 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法.同样的，十进制数转化为六进制数可用除六取余法.例如下表是将十进制数13 和500转化为二进制数和六进制数的方法：

(1)、将十进制数1000转化为八进制数为；转化为七进制数为；

(2)、试将六进制数(2025)₆。转化为八进制数.

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三、拓展创新

16. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“——”当作数字“1”，把阴爻“一一”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
例如：“艮”卦所表示的二进制数为001，转化为十进制数是 $0 \times 2^{2} + 0 \times$ 2¹+1=1，“巽”卦所表示的二进制数为011，转化为十进制数是0×2²+1×2¹+1=3(爻转化规则由下至上排列).依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )

A、33 B、34 C、35 D、36

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17. 记十进制数 $a$ 在 $p$ 进制下表示为 $a_{p}$ ．若 $23 4_{b + 1} - 23 4_{b - 1} = 70$ ，则 $23 4_{b} =$ （）

A、154 B、155 C、156 D、157

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18. 我们知道在十进制加法中，逢十进一，如9+8=17，也可写成9(10)+8(10)=17(10)；在四进制加法中，逢四进一，如 $3_{(4)} + 2_{(4)} = 1 1_{(4)},$ 那么在n进制中有等式 $5 5_{(n)} + 4 3_{(n)} = 14 2_{(n)},$ 则n 的值为.

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卦名	符号	表示的二进制数	表示的十进制数
坤		000	0
艮		001	1
坎		010	2
巽		011	3

十六进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

十六进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

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一、夯实基础

二、能力提升

三、拓展创新

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