广东省江门市新会区华侨中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-30 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设 $A = {2, 6, 7, 8}$ ， $B = {3, 6, 8, 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3, 6, 7, 8, 9\}$ B、 $\{6, 8\}$ C、 $\{2, 6, 8\}$ D、 $\{3, 6, 8\}$

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2. 命题：“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 \leq 0$ C、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 < 0$ D、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $x - 2 \leq 0$

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3. 下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ . B、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ C、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$

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4. 已知 $a = {(\frac{3}{5})}^{\frac{1}{3}}, b = {(\frac{3}{5})}^{- \frac{1}{3}}, c = {(\frac{2}{5})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3 x + 1, x < 2 \\ f (x - 2), x \geq 2 \end{array}$ ，则 $f (5) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $4$ C、 $10$ D、 $16$

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6. 若 $p : 1 - x > 0$ 是 $q : 2 x \leq a$ 的必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

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7. 已知函数 $h (x) = x^{2} - k x - 8$ ，在 $[5, 10]$ 上是单调函数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 10]$ B、 $[20, + \infty)$ C、 $(- \infty, 10]\cup[20, + \infty)$ D、 $\emptyset$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (- 1) = 0$ ，若对于任意两个实数 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则不等式 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 下列不等式的解集为R的是（）

A、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} > 0$ B、 $x^{2} - 3 x + 5 > 0$ C、 $- 3 x^{2} + 6 x - 4 < 0$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 1$

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10. 有以下判断，其中是正确判断的有（）

A、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t + 1$ 是同一函数 D、函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[\frac{3}{2},2]$

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11. 对任意实数 $x$ ，用 $m (x)$ 表示函数 $f (x) = |x|$ 和 $g (x) = x + 1$ 中的最小值，记为 $m (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，则（）

A、 $m (x)$ 有最大值，无最小值 B、当 $x \leq 0, m (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、不等式 $m (x) \leq \frac{1}{2}$ 的解集为 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ D、 $m (x)$ 的单调递增区间为 $(0, 1)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 函数 $f (x) = \frac{3 x^{2}}{\sqrt{1 - x}} + {(2 x - 1)}^{0}$ 的定义域为.

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13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{m + 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ ．

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14. 已知 $f (x)$ 是二次函数，且 $f (0) = 3$ ，若 $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 3$ ，则 $f (x)$ 的解析式为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

15. 已知集合 $A = \{x |x \geq 3\}, B = \{x |1 \leq x \leq 7\}, C = \{x |x \geq a - 1\}$ .

(1)、求 $A \cap B, A \cup B$

(2)、 $∁_{R} (A \cup B), (∁_{R} A) \cap B$ ；

(3)、若 $C \cup A = A$ ，求实数a的取值范围.

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16. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，并写出函数的单调区间；

(3)、根据图象写出使 $f (x) < 0$ 的x的取值集合.

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17. 某工厂生产某种产品，其生产的总成本 $y$ （万元）与年产量 $x$ （吨）之间的函数关系可近似地表示为 $y = \frac{1}{10} x^{2} - 20 x + 40000$ .已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.

(1)、年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；

(2)、若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.

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18. （1）求关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 3 x + 2 < 0$ 的解集；
（2）已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + b > 0$ 的解集为 $\{x | x < 1$ 或 $x > 2\}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；
（3）在（2）的条件下，当 $c > 0$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - (a c + 1) x + 1 < 0$ 的解集（用 $c$ 表示）．

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19. 已知函数 $f (x) = 3 x + \frac{x}{|x| + 1}$ .

(1)、证明：函数 $f (x)$ 是奇函数；

(2)、用定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2} + 3 a x) + f (1 - a x) \geq 0$ 对于任意实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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