沪科版数学九年级上册21.2二次函数的图像和性质分层同步练习

试卷更新日期：2026-08-21 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 图象的对称轴是直线（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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2. 对于抛物线 $y ＝ 3 {(x - 5)}^{2} - 4 ，$ 以下说法正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴为直线x＝5 C、顶点坐标为（5， 4） D、当x＞5时，y随x的增大而减小

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3. 二次函数 $y＝ {(x－20)}^{2} +26$ 的最小值为.

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4. 已知函数 $y = 3 {(x - 2)}^{2}$ 图象上的三个点 $A (3, y_{1}), B (4, y_{2}), C (- 1, y_{3})$ ，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（从小到大排列）．

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5. 请写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：．（只需写出一个符合题意的函数表达式即可）

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6. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} + b x + c$ 的图像经过点 $A (0, - 6), B (1, - 8)$ ，

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、直接写出二次函数的图象与 $x$ 轴的交点坐标．

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7. 一个二次函数图象上部分点的横坐标 $x$ ，纵坐标 $y$ 的对应值如下表：
$x$
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
$y$
…
$- \frac{5}{2}$
0
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{3}{2}$
0
$m$
-6
$- \frac{21}{2}$
…
（1） $m$ 的值为______；
（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（3）当 $- 2 < x < 3$ 时，求 $y$ 的取值范围.

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8. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x + 6$ ．

(1)、将 $y = 2 x^{2} - 4 x + 6$ 化成 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式；

(2)、抛物线 $y = 2 x^{2} - 4 x + 6$ 可以由抛物线 $y = 2 x^{2}$ 经过平移得到，请写出一种平移方式．

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9. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ．

(1)、补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x
…
$\begin{matrix} - 1 \end{matrix}$
0
1
2
3
…
y
…
0

3

…

(2)、根据图象回答： $y > 0$ 时，x的取值范围是_____________；

(3)、根据图象回答：当 $- 1 < x < 2$ 时，y的取值范围是_____________．

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二、能力提升

10. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系。在低光照强度范围( $200 \leq x$ <； 1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围( $x \geq 1000$ )内，y与x近似成二次函数关系。其部分图象如图所示。根据图象，下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 1000$ 时，y随x的增大而减小 B、当x $= 2000$ 时，y有最大值 C、当y $\geq 0$ .6时， $x \geq 3000$ D、当 $y = 0$ .4时， $x = 600$

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11. 在平面直角坐标系xOy中，已知⊙M的圆心在直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 上，给出下列三个结论：
①同时与x轴和y轴相切的⊙M有2个；
②若⊙M经过原点O，则⊙M的面积的最小值为4π；
③若⊙M经过点（0，2)，则点（1，0)一定在⊙M外.
其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有如下结论
$①$ $a b c > 0$ ；
$②$ $8 a + c < 0$ ；
$③$ 若抛物线与y轴的交点在 $(0, - 3)$ 与 $(0, - 2)$ 之间（包含边界），则系数a的取值范围是 $\frac{2}{3} \leq a \leq 1$ ；
$④$ 若点 $A (t, m)$ ， $B (1 - t, n)$ ， $C (3 - t, p)$ 均在二次函数的图象上，若 $t < 0$ ，则 $n < m < p$ ．
其中正确的结论是．

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13. 如图，已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c （ a ≠0）$ 与一次函数 $y_{2} = k x + b （ k ≠0）$ 的图象相交于点 $A (﹣2，4), B （8，2）$ ，则 $a x^{2} + b x + c = k x + b$ 的解是．

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14. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象和对称轴如图所示．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、该二次函数图象与 $x$ 轴正半轴的交点坐标为．

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + 2$ 上的两点．

(1)、求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；

(2)、对于 $1 \leq x_{1} \leq 3$ ， $x_{2} = 4 m$ ，都有 $y_{2} < y_{1}$ ，求m的取值范围．

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16. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，
请解决以下问题：
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8

(1)、在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)、结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；

(3)、求所画图象对应的函数表达式；

(4)、从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．

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三、拓展创新

17. 我们定义一种新函数：形如 $y = |a x^{2} + b x + c|$ （ $a \neq 0$ ，且 $b^{2} - 4 a c > 0$ ）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数 $y = |x^{2} - 2 x - 3|$ 的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为 $(- 1, 0)$ ， $(3, 0)$ 和 $(0, 3)$ ；②图象具有对称性，对称轴是直线 $x = 1$ ；③当 $- 1 \leq x \leq 1$ 或 $x \geq 3$ 时，函数值y随x值的增大而增大；④当 $x = - 1$ 或 $x = 3$ 时，函数的最小值是0；⑤当 $x = 1$ 时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 5$ ，点P从点A出发，沿线段 $A D$ 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段 $B A$ 以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P ， Q两点同时出发，设点P运动的时间为 $t$ （单位：秒）， $△ A P Q$ 的面积为 $y$ ．则 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式为．

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19. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目．如图，运动员通过助滑道后在点 $A$ 处腾空，在空中沿抛物线飞行，直至落在着陆坡 $B C$ 上的点 $P$ 处．腾空点 $A$ 到地面 $O B$ 的距离 $O A$ 为 $70 m$ ，坡高 $O C$ 为 $60 m$ ，着陆坡 $B C$ 的坡度 $($ 即 $t a n α)$ 为 $3$ ： $4 .$ 以 $O$ 为原点， $O B$ 所在直线为 $x$ 轴， $O A$ 所在直线为 $y$ 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知这段抛物线经过点 $(4 ， 75)$ ， $(8 ， 78)$ ．

(1)、求这段抛物线表示的二次函数表达式；

(2)、在空中飞行过程中，求运动员到坡面 $B C$ 竖直方向上的最大距离；

(3)、落点 $P$ 与坡顶 $C$ 之间的距离为 $m .$

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$x$	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…
$y$	…	$- \frac{5}{2}$	0	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{3}{2}$	0	$m$	-6	$- \frac{21}{2}$	…

d（米）	0	1.0	3.0	5.0	7.0
h（米）	3.2	4.2	5.0	4.2	1.8