浙教版数学九年级上册 1.5 二次函数的应用三阶

试卷更新日期：2026-08-20 类型：同步测试

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一、选择题

1. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a < 0$ ）经过 $A (2, 0)$ ， $B (- 4, 0)$ 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 4$ ；
②若点 $C (- 5, y_{1})$ ， $D (π, y_{2})$ 在该抛物线上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；
③对于任意实数 $t$ ，总有 $a t^{2} + b t \leq a - b$ ；
④对于 $a$ 的每一个确定值，若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = p$ （ $p$ 为常数， $p > 0$ ）的根为整数，则 $p$ 的值只有两个．其中正确的结论有几个（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图，抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{9}{4} x + 3$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点D是线段BC上一动点，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F两点，则EF的最小值是 ( )

A、3 B、 $\frac{3 \sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{9 \sqrt{10}}{10}$

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3. 抛物线. $y = k x^{2} - (4 k + 1) x + 3 k + 1$ 与x轴交于A、B两点，且AB=2。将抛物线沿y轴平移m个单位后，与线段AB(不含端点)一定有交点，则抛物线平移方式及m的取值范围是 ( )

A、向上平移， $0 \leq m < \frac{1}{4}$ B、向下平移， $0 < m \leq \frac{1}{4}$ C、向上平移， $m \geq \frac{1}{4}$ D、向下平移， $m \geq \frac{1}{4}$

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4. 某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系y=-x+120.有下列结论：① 销售单价可以是90元；②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为 500元.其中，正确结论的个数是( )

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 某生态农业示范园实施精准灌溉，在灌溉主管道沿线安装移动喷头.如图，点 P为固定水位监测点，喷头Q从A处沿直线管道AB移动。设AQ为x（单位： m) （0≤x≤n)， PQ²为y（单位：m²)，y关于x的函数图象如图所示，图象与y轴交于点 C，最低点D （m， 25)，且经过E（2， 169)和F（n， 169)两点.下列选项正确的是（）

A、m=12 B、n=16 C、图象与y轴交点C的纵坐标为221 D、点（10， 39)在该函数图象上

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6. 已知二次函数y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x²+bx与y＝ $\frac{1}{2}$ x²﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O ，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B ， C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O ， A ， B ， C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q ， B ， C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为 $5 + \sqrt{13}$ ．
其中，所有正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 如图，小明站在原点处，从离地面高度为 $1 m$ 的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 $y = a {(x - 2)}^{2} + 2$ ，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为 $0.5 m$ ，高为 $0.5 m$ 的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为 $n$ 米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则 $n$ 的值可以是（）

A、7 B、9 C、10 D、8

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °, E$ 为 $A B$ 上一点， $C E$ 的垂直平分线交 $A D$ 于点F ，若 $A B = 2$ ，记 $△ A E F$ 的面积最大值为S ，周长最小值为l ，则（）

A、 $S = \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $S = \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $l = 2 \sqrt{3}$ D、 $l = 3 \sqrt{3} - \frac{3}{2}$

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9. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（）

A、水流运行轨迹满足函数 $y = - \frac{1}{40} x^{2} - x + 1$ B、水流喷射的最远水平距离是40米 C、喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米 D、若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌

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10. 某弹性小球从地面以初速度 $v$ （米/秒）坚直向上抛出，其离度 $h$ （米）与时间 $t$ （秒）的关系为 $h = v t - 4.9 t^{2}$ .当初速度为 $v_{1}$ 时，达到最大高度 $h_{1}$ 后落回地面用时 $t_{1}$ （如图1）：落地后再次以初速度 $v_{2}$ 坚直向上弹起至最大高度再落回地面用时 $I_{2}$ （如图2）.已知 $h_{1} :$ $h_{2} = 5 : 2$ ，则 $v_{1} ： v_{2}$ 的值为（）

A、5：2 B、 $\sqrt{5} : 2$ C、3：2 D、 $\sqrt{10} : 2$

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二、填空题

11. 某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为 $10 m$ ，不超出墙），另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形．已知栅栏的总长度为 $10 m$ ，设较小矩形的宽为 $x (m)$ ，则矩形养殖场总面积的最大值为 $m^{2}$ ．

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12. 某动物园商品经销店欲购进进价分别为30元/件，40元/件的A，B两种纪念品，若该经销店每出售1件A种纪念品可获利5元，每出售1件B种纪念品可获利8元，该经销店准备用不超过1920元的资金购进A，B两种纪念品共50件，且这两种纪念品全部出售后利润不低于370元，则共有种购进方案，最大利润为元.

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13. 随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车.已知某品牌电动汽车从电量0%开始快充时，累计充电时间y (min)与汽车仪表盘显示的电量x (%)的关系可用二次函数 $y = \frac{1}{300} x^{2} + \frac{1}{6} x$ 近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s(km)与电量x (%)的关系如表所示.
汽车仪表盘显示的电量x (%)
0
10
20
30
40
...
汽车仪表盘显示的可行驶里程s (km)
0
70
140
210
280
...
若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时到目的地的路程还有490km.若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10%，则充电时间为 min.

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14. 如图，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在菱形 $A B C D$ 的四条边上， $B E = B F = D G = D H$ ，连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ，得到四边形 $E F G H$ ， $∠ A = 60 °$ ．设四边形 $E F G H$ 的面积为 $S$ ， $A E$ 的长为 $x$ ，若 $S$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示，则 $A B$ 的长为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点 $E$ .矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在线段 $O E$ 上，点C、D在抛物线上，则矩形 $A B C D$ 周长的最大值为.

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三、解答题

16. 一架飞机在跑道起点处着陆后滑行的相关数据如下表：
滑行时间 $t / s$
0
1
2
3
4
滑行速度 $y / m/s$
60
57
54
51
48
已知该飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度y（单位： $m/s$ ）与滑行时间t（单位：s）之间满足一次函数关系．而滑行距离 $=$ 平均速度 $\bar{v} \times$ 时间t ， $\bar{v} = \frac{v_{0} + v_{t}}{2}$ ，其中 $v_{0}$ 是初始速度， $v_{t}$ 是t秒时的速度．

(1)、直接写出y关于t的函数解析式和自变量的取值范围；

(2)、求飞机滑行的最远距离；

(3)、当飞机在跑道起点处着陆后滑行了 $450 m$ ，求此时飞机的滑行速度；

(4)、若飞机在跑道起点处开始滑行时，发现前方 $300 m$ 有一辆通勤车正以 $54km/h$ 的速度匀速同向行驶，试问飞机滑行过程中是否有碰撞通勤车的危险？

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17. 项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图 $1$ 是无人机的示意图，其中点 $O$ 为无人机的摄像头， $A$ ， $B$ 是喷药口， $A$ ， $B$ ， $O$ ，在同一条水平直线上， $A B = 60 c m$ ，如图 $2$ ，以无人机摄像头所在位置 $O$ 为坐标原点，竖直方向为 $y$ 轴，以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系 $.$ 喷药口点 $A$ 和点 $B$ 到点 $O$ 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ， $O C = 300 c m$ ．

(1)、依题意，得点 $A$ 的坐标为： ▲ ；求出点 $A$ 所在抛物线的函数表达式．

(2)、问题解决：
启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为 $300 c m$ ，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图 $3$ 位置，使相邻田地之间的田埂 $($ 宽度为 $E F$ 的区域，且 $E F = 30 c m$ 时，田埂高度忽略不计 $)$ 恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度；

(3)、如图 $4$ ，在直线 $A B$ 上再增加 $2$ 个喷药口 $M$ 和 $N$ ， $M$ 在 $A$ 左侧， $N$ 在 $B$ 右侧， $M A = A B = B N$ ，当无人机上升到距地面的高度为 $480 c m$ 时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度 $P Q$ 的长．

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汽车仪表盘显示的电量x (%)	0	10	20	30	40	...
汽车仪表盘显示的可行驶里程s (km)	0	70	140	210	280	...

滑行时间 $t / s$	0	1	2	3	4
滑行速度 $y / m/s$	60	57	54	51	48

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二、填空题

三、解答题

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