北师大版本数学九年级上册第五章二次函数综合检测卷

试卷更新日期：2026-08-19 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 二次函数 $y = 2 {(x + 3)}^{2} + 5$ 的图象是由 $y = 2 x^{2}$ 的函数图象经过怎样平移得到的（）

A、向左平移3个单位，向上平移5个单位 B、向右平移3个单位，向上平移5个单位 C、向左平移5个单位，向下平移3个单位 D、向右平移5个单位，向上平移3个单位

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2. 二次函数 $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ 的最小值是（）

A、- 2 B、2 C、- 3 D、3

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3. 若抛物线 $y = x^{2} + 2 m x + 9$ 与x轴只有一个交点，则m的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\pm 3 \sqrt{2}$ D、 $\pm 3$

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4. 如果在二次函数的表达式y=ax²+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系。在低光照强度范围( $200 \leq x$ <； 1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围( $x \geq 1000$ )内，y与x近似成二次函数关系。其部分图象如图所示。根据图象，下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 1000$ 时，y随x的增大而减小 B、当x $= 2000$ 时，y有最大值 C、当y $\geq 0$ .6时， $x \geq 3000$ D、当 $y = 0$ .4时， $x = 600$

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6. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线 $y = a x^{2} + c$ 上，则下列结论正确的是（）

A、 $a c < 0$ B、 $a c = 0$ C、 $a c > 0$ D、 $a c \geq 0$

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7. 图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体 $A C B$ 是抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点， $C D = 8 c m$ $E F = 3 c m$ ， D是 $E F$ 的中点．当高脚杯中装满红酒时，液面 $A B = 4 c m$ ，此时最大深度（液面到最低点的距离）为 $4 c m$ ．现将高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分红酒，当倾斜角 $α = 45 °$ 时停止，此时液面为 $G B$ ，如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{8} c m$ B、 $\sqrt{2} c m$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} c m$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{10} c m$

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8. 如图，抛物线 $y = 2 x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B = 2$ ．点 $P (1, n)$ 在抛物线上， $△ A B P$ 的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点 $P$ 的对应点为 $P^{'}$ ，抛物线与 $x$ 轴交于 $A^{'}$ ， $B^{'}$ 两点，则 $△ A^{'} B^{'} P^{'}$ 的面积是（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，定义其图象上点 $(x, y)$ 的“点值”为 $t = x + y$ ．已知该抛物线过点 $(0, 2)$ ，顶点的“点值”为 $- 4$ ，且与x轴的两交点的“点值”之和为4，对于上述二次函数，下列结论中正确的有（）
① $b = - 4$ ；
②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧；
③其图象上有两个点的“点值”为0；
④存在实数 $t_{0}$ ，使得函数图象上有且仅有一个点以 $t_{0}$ 为“点值”．

A、①③ B、②④ C、②③ D、②③④

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二、填空题（每题3分，共24分）

10. 若点 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ 在抛物线 $y = 2 x^{2}$ 上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系为 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）．

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11. 已知二次函数满足条件：①图象过点 (0，3)；②当x≤0时，y随x的增大而增大，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式.

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = m x + n (m \neq 0)$ 相交于点 $P (- 2,3)$ ， $Q (5,7)$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = m x + n$ 的解是。

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13. 若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点 $A (2, m)$ ， $B (n, - 5)$ 是关于 $x$ 的“美好函数” $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线 $x = 4$ 的右侧．有下列结论① $4 a + c = 0$ ；② $b = \frac{5}{2}$ ；③ $- \frac{5}{16} < a < 0$ ；④ $\frac{55}{16} > a + b + c > 3$ ．其中正确的是．（填写序号）

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三、解答题（共8题，共72分）

14. 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，
请解决以下问题：
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8

(1)、在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；

(2)、结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；

(3)、求所画图象对应的函数表达式；

(4)、从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．

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15. 已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表，
x
…
$- 2$
$- 1$
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
$- 5$
…

(1)、求二次函数解析式；

(2)、判断点 $P (4, - 10)$ _______该函数的图象上（填“在”或“不在”）．

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
…
y
…
0
$- 3$
$- 4$
$- 3$
0
…

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、当 $y > - 3$ 时，直接写出x的取值范围；

(3)、当 $- 3 \leq x < 2$ 时，关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - t = 0$ 有实根，则t的取值范围是．

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17. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长 $O B$ 为 $274 cm$ ，球网 $C D$ 高 $15.25 cm$ ．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．
某次训练，发球机从球台边缘 $O$ 点正上方 $28.75 cm$ 的高度 $A$ 处发球（即 $O A$ 的长为 $28.75 cm$ ），乒乓球到球台的竖直高度记为 $y$ （单位： $cm$ ），乒乓球运行的水平距离记为 $x$ （单位： $cm$ ），测得几组数据如下：
水平距离 $x / cm$
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度 $y / cm$
$28.75$
33
45
49
$n$
33
0
根据以上数据，解决下列问题：

(1)、当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______ $cm$ ，表格中 $n$ 的值为______；

(2)、求出满足条件的函数表达式；

(3)、若发球机的发球高度增加 $15 cm$ ，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）．

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18. 杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件．

(1)、请求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、设该网店每周销售这种商品所获得的利润为 $w$ 元，
①写出 $w$ 与 $x$ 的函数关系式；
②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？

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19. 已知二次函数y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）．

(1)、求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

(2)、把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？

(3)、将抛物线y=x²﹣2mx+m²+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．

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20. 如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（ $3$ ， $- 1$ ），点D的坐标为（ $- 1$ ， $- 1$ ），且AB∥y轴，AD∥x轴．点P是抛物线 $y = x^{2} + 2 x$ 上一点，过点P作PE⊥x轴于点E ， PF⊥y轴于点 F ．

(1)、直接写出点 $B$ 的坐标；

(2)、若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；

(3)、以点E为顶点的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 经过点F ，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．

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水平距离 $x / cm$	0	10	50	90	130	170	230
竖直高度 $y / cm$	$28.75$	33	45	49	$n$	33	0

d（米）	0	1.0	3.0	5.0	7.0
h（米）	3.2	4.2	5.0	4.2	1.8

x	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
y	…	3	4	3	0	$- 5$	…

x	…	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	…
y	…	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	0	…