浙教版数学七年级上册 3.4 实数的运算三阶训练

试卷更新日期：2026-08-15 类型：同步测试

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一、选择题

1. 计算下列各式，值最小的是（）

A、 $\sqrt{2} \times 0 + 1 - 5$ B、 $\sqrt{2} + 0 \times 1 - 5$ C、 $\sqrt{2} + 0 - 1 \times 5$ D、 $\sqrt{2} + 0 + 1 - 5$

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2. 与 $3 + \sqrt{24}$ 最接近的整数是（）

A、 $6$ B、 $7$ C、 $8$ D、 $9$

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3. 估计 $(7 + \sqrt{7}) \times \frac{\sqrt{7}}{7}$ 的值应在（）

A、 $3$ 和 $4$ 之间 B、 $4$ 和 $5$ 之间 C、 $5$ 和 $6$ 之间 D、 $6$ 和 $7$ 之间

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4. 定义一种新运算“△”， $a △ b = a^{2} - a b$ ，则 $\sqrt{2} △ 1$ 的值为( )

A、 $1 - \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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5. 有一个计算器，计算 $\sqrt{2}$ 只能显示1.414 213 562 37 十三位(包括小数点)，现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值 ( )

A、 $10 \sqrt{2}$ B、 $10 (\sqrt{2} - 1)$ C、 $100 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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6. 下列说法正确的是 ( )

A、 $\sqrt{2}$ 是最小的正无理数 B、绝对值最小的实数不存在 C、两个无理数的和不一定是无理数 D、有理数与数轴上的点——对应

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7. 定义新运算“⊗”，规定：a⊗b= $a^{2} - ∣ b ∣,$ ，则（-2）⊗（-1）的运算结果为（）

A、-5 B、-3 C、5 D、3

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8. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 $\sqrt{a^{2}} + 1 + | a - 1 |$ 的化简结果是（）

A、1 B、2 C、2a D、1﹣2a

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9. 有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④ $- \sqrt{17}$ 是17的平方根。其中正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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10. [x]表示不大于 x的最大整数，如 $[3.15] = 3 ， [- 2.7] = - 3 ， [4] = 4 ，$ 则 $\frac{[\sqrt{1 \times 2}] + [\sqrt{2 \times 3}] + \dots + [\sqrt{2003 \times 2004}]}{1002}$ =（）

A、1001 B、2003 C、2004 D、1002

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二、填空题

11. 计算： ${(- 2)}^{3} + \sqrt[3]{- 8}$ 的结果是.

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12. 按如图所示的流程操作，当输入-29时，输出的值是；当输出的值等于4时，输入的负数是。

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13. 任何实数a，可用 $[A]$ 表示不超过a的最大整数，如 $[4] = 4$ ， $[\sqrt{3}] = 1$ ，现对72进行如下操作： $72 \to_{}^{第 1 次} [\sqrt{72}] = 8 \to_{}^{第 2 次} [\sqrt{8}] = 2 \to_{}^{第 3 次} [\sqrt{2}] = 1$ ，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的x是．

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14. 已知a、b分别是( $6 - \sqrt{7}$ 的整数部分和小数部分，则2a-b=.

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15. 若用 $[x]$ 表示实数x的整数部分，例如： $[3] = 3$ ， $[2.9] = 2$ ， $[\sqrt{2}] = 1$ ，则式子 $[\sqrt{1}] - [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}] -$ $[\sqrt{4}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{2023}] - [\sqrt{2024}] + [\sqrt{2025}] - [\sqrt{2026}] =$ ．（式子中“＋”，“－”依次相间）

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三、解答题

16. 定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为 $1.4 - 1 - 0.4$ ； $\sqrt{3}$ 的整数部分为1，小数部分为 $\sqrt{3} - 1$ ；再如， $- 3.8$ 的整数部分为 $- 4$ ，小数部分为 $|- 3.8 - (- 4)| = 0.2$ ．由此得到：若 $\sqrt{3} = x + y$ ，其中 $x$ 是整数，且 $0 < y < 1$ ，那么 $x = 1$ ， $y = \sqrt{3} - 1$ ．
根据以上材料，回答下列问题：

(1)、若 $\sqrt{5} = m + n$ ，其中 $m$ 是整数，且 $0 < n < 1$ ，则 $m =$ __________； $n =$ __________

(2)、若 $8 - a = b + \sqrt{26}$ ，其中 $a$ 是整数，且 $0 < b < 1$ ，求 $|a + b| - (2 b - 1)$ 的值．

(3)、若 $2 - \sqrt{5} = p + q$ ，其中 $p$ 是整数，且 $0 < q < 1$ ，求 $p - q$ 的值．

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17. 阅读下面的文字，解答问题．
新定义：若无理数 $\sqrt{T}$ 的被开方数T（T为正整数）满足 $n^{2} < T < {(n + 1)}^{2}$ （其中n为正整数），则称无理数 $\sqrt{T}$ 的“阳光区间”为 $(n, n + 1)$ ；同理规定无理数 $- \sqrt{T}$ 的“阳光区间”为 $(- n - 1, - n)$ ．例如：因为 $1^{2} < 2 < 2^{2}$ ，所以 $1 < \sqrt{2} < 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的“阳光区间”为 $(1, 2)$ ， $- \sqrt{2}$ 的“阳光区间”为 $(- 2, - 1)$ ．
请解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{15}$ 的“阳光区间”是______； $- \sqrt{23}$ 的“阳光区间”是______；

(2)、若无理数 $- \sqrt{a}$ （a为正整数）的“阳光区间”为 $(- 3, - 2)$ ， $\sqrt{a + 3}$ 的“阳光区间”为 $(3, 4)$ ，求 $\sqrt{a + 1}$ 的值；

(3)、实数x，y，m满足关系式： $\sqrt{2 x + 3 y - m} + \sqrt{3 x + 4 y - 2 m} = \sqrt{x + y - 2026} + \sqrt{2026 - x - y}$ ，求m的算术平方根的“阳光区间”．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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