浙江省乐清市智仁乡中学2025-2026学年上学期九年级数学期中监测试卷

试卷更新日期：2025-12-04 类型：期中考试

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一、选择题（30分）

1. 若 $⊙ O$ 的半径为 $3 cm$ ，点 $A$ 不在 $⊙ O$ 内，则 $O A$ 的长（）

A、大于 $3 cm$ B、不小于 $3 cm$ C、大于 $6 cm$ D、不小于 $6 cm$

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2. 下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 对于抛物线 $y = - 5 {(x - 1)}^{2} + 3$ ，下列判断正确的是（）

A、抛物线的开口向上 B、抛物线的顶点坐标是 $(- 1, 3)$ C、对称轴为直线 $x = 1$ D、当 $x = 3$ 时， $y > 0$

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4. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $∠ C = 140 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $80 °$ C、 $140 °$ D、 $160 °$

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5. 点 $(- 3, y_{1}), (0, y_{2}), (1, y_{3})$ 在二次函数 $y = - {(x + 2)}^{2} + k$ 的图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ B、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$

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6. 已知扇形的圆心角为 $120 °$ ，半径为 $2$ ，则扇形的弧长为（）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3} π$

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7. 一个暗箱中放有 $a$ 个除颜色外其他完全相同的球，这 $a$ 个球中只有 $2$ 个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出 $1$ 个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在 $20 %$ ，那么可以估算 $a$ 的值是（）

A、15 B、10 C、4 D、3

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8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 $O B = 10$ ，水面宽 $A B = 16$ ，则截面圆心O到水面的距离 $O C$ 是（　　）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9. 已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（　　）

A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0 C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴负半轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上， $⊙ D$ 经过 $A$ ， $B$ ， $O$ ， $C$ 四点， $∠ A C O = 120 °$ ， $A B = 4$ ，则圆心点 $D$ 的坐标是（）

A、 $(\sqrt{3}, 1)$ B、 $(- \sqrt{3}, 1)$ C、 $(- 1, \sqrt{3})$ D、 $(- 2, 2 \sqrt{3})$

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二、填空题（18分）

11. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为 $\frac{3}{4}$ ，则绿球的个数为个．

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12. 把抛物线 $y = x^{2} + 1$ 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为．

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13. 下列说法中正确的是． $①$ 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； $②$ 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，且一定过圆心； $③$ 平分弦所对的两条弧的直径平分弦．

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14. 若二次函数 $y = 3 x^{2} + b x + c$ 的部分图像如图所示，对称轴为直线 $x = 1$ ，关于 $x$ 的一元二次方程 $3 x^{2} + b x + c = 0$ 的一个解 $x_{1} = 3$ ，则另一个解 $x_{2} =$ ．

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15. 如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为 $2 \sqrt{3}$ 米时，水位上升米．

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16. 已知：如图，圆 $O$ 的半径为 $15$ ，点 $C$ 是圆内的一点，且 $O C = 9$ ，以弦 $A B$ 为斜边作 $Rt △ A B C$ ，使 $∠ C A B = ∠ O C B$ ，则弦 $A B$ 的长为．

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三、解答题（52分）

17. 已知二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} - 2$ ．

(1)、求该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)、当 $- 1 < x < 2$ 时，请直接写出 $y$ 的取值范围__________．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1, 1), B (4, 1), C (3, 3)$ ．

(1)、①点 $B$ 关于原点 $O$ 中心对称点的坐标为（，）；
②将 $△ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若点 $P$ 为 $y$ 轴上一动点，则 $P A + P C$ 的最小值等于．

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19. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 $n$
100
150
200
500
800
1000
落在“橙汁”区域的次数 $m$
68
111
136
345
564
701
落在“橙汁”区域的频率 $\frac{m}{n}$
0.68
0.74
0.68
0.69
$a$
$b$

(1)、填空： $a =$ __________， $b =$ __________．

(2)、假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1）

(3)、在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？

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20. 如图，在 $△ A C D$ 中， $D A = D C$ ， $B$ 是 $A C$ 边上一点，以 $A B$ 为直径的圆 $O$ 经过点 $D$ ， $F$ 是直径 $A B$ 上一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $D F$ 并延长交圆 $O$ 于点 $E$ ，连接 $E A$ ， $E B$ ．

(1)、求证： $∠ C = ∠ D E B$ ；

(2)、若 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{B E}$ ， $∠ C = 30 °$ ，求 $∠ D F B$ 的度数．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以腰 $A B$ 为直径画半圆O，分别交 $B C ， A C$ 于点D，E．

(1)、求证： $B D = D E$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 60 ° ， A B = 2$ ，求阴影部分弓形的面积．

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22. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x + c$ 的图象经过点 $(4, 3)$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、若一个点的坐标满足 $(k, 2 k)$ ，我们将这样的点定义为“倍值点”．
$①$ 求这个函数“倍值点”的坐标；
$②$ 若 $P (m, n)$ 是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求 $n$ 的最大值与最小值的差．

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23. 如图1，弹球从原点 $O$ 以一定的方向拋出，弹球抛出的路线是拋物线 $L$ 的一部分，若弹球到达最高点的坐标为 $(4, 4)$ ，弹球遇挡板后会反弹，反弹后的弹球的运动轨迹仍是拋物线的一部分，且开口大小和方向均与 $L$ 相同．

(1)、求抛物线 $L$ 的解析式；

(2)、如图1，弹球在 $x$ 轴的落点为A，在A处放置了一挡板，反弹后弹球运动的最大高度是 $\frac{9}{4}$ ．
①求点A的横坐标；②反弹后的小球是否经过点 $(13, 2)$ ？请说明理由．

(3)、如图2，在第一象限内放置一挡板，挡板可以用一次函数 $y = \frac{1}{4} x (x > 0)$ 刻画，弹球落到挡板上的点 $D$ 处后反弹，反弹后弹球运动的最大高度是 $\frac{11}{4}$ ．若第一次反弹后的弹球仍然落在挡板上，直接写出挡板端点 $E$ 横坐标 $x_{E}$ 的取值范围______．

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转动转盘的次数 $n$	100	150	200	500	800	1000
落在“橙汁”区域的次数 $m$	68	111	136	345	564	701
落在“橙汁”区域的频率 $\frac{m}{n}$	0.68	0.74	0.68	0.69	$a$	$b$