浙教版数学七年级上册 2.6 有理数的混合运算三阶训练

试卷更新日期：2026-08-11 类型：同步测试

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一、选择题

1. ${(- 2)}^{2004} + 3 \times {(- 2)}^{2003}$ 的值为（ ).

A、-2²⁰⁰³ B、2²⁰⁰³ C、-2²⁰⁰⁴ D、2²⁰⁰⁴

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2. 下列计算：
① $74 - 2^{2} \div 70 = 70 \div 70 = 1$ ；
② $2 \times 3^{2} = {(2 \times 3)}^{2} = 6^{2} = 36$ ；
③ $6 \div (2 \times 3) = 6 \div 2 \times 3 = 3 \times 3 = 9$ ；
④ $\frac{2^{2}}{9} - (- 2) \times (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{4}{9} + (\frac{1}{2} - 1) = \frac{4}{9} - \frac{1}{2} = - \frac{1}{18}$ ．
其中错误的是（）

A、①②③④ B、①②③ C、②④ D、④

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3. 数学上，为了简便把1到n的连续n个自然数的和记作 $\sum_{k = 1}^{n} k,$ 即 $\sum_{k = 1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \dots + n;$ 把1到n的连续n个自然数的乘积记作n! ，即n! =1×2×3×…×(n-1)×n；
则 $\sum_{i = 1}^{2024} i - \sum_{i = 1}^{2025} i + \frac{2025!}{2024!}$ 的值为( )

A、0 B、1 C、2024 D、2025

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4. 若有一组连续的自然数从小到大排列，现对其求和，则求和公式为 $（第一个 + 最后一个） \times 总个数 \div 2$ .如：一组连续的自然数3，4，5，6，…，12，则 $3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12$ $= (3 + 12) \times 10 \div 2 = 75$ 。那么，下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（）

A、5280 B、8160 C、9350 D、8880

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5. 学校计划采购2000个口罩，恰逢甲、乙、丙三家药店开展促销活动.同一款口罩原价相同，都是2.7元.在( )药店买最便宜.
甲：每满1000元减200元.
乙：不满5000元，打九折；若满5000元，打八五折.
丙：一律九折，且折后满4000元返现金500元.

A、甲 B、乙 C、丙 D、价钱一样

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6. 如图1，有一个圆柱形水桶，水位高度为4cm.如图2，现将一个棱长为4cm的正方体铁块放入水中，液面上升了1cm.如图3，如果再叠放一个同样的正方体铁块，那么液面会再上升（）cm.

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为 $(2000 - 3) \div 10 = 199 \dots \dots 7$ ；地支为 $(2000 - 3) \div 12 = 166 \dots \dots 5$ ；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸

地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
依据上述规律推断2025年为农历（）年．

A、乙巳 B、戊申 C、乙申 D、戊巳

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8. 对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论：
①2026是“快乐数”；
②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”；
③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数”
所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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9. $2025$ 减去它的 $\frac{1}{2}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{3}$ ，再减去余下的 $\frac{1}{4}$ ……，以此类推，一直减到余下的 $\frac{1}{2025}$ ，则最后剩下的数是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{2024}{2025}$ D、 $\frac{1}{2025}$

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10. 法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算

7 \times 8

和

8 \times 9

的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数.若用法国的“小九九”计算

7 \times 9

，左、右手依次伸出手指的个数是（）

$7 \times 8 =$ ？

因为两手伸出的手指数的和为 $5$ ，未伸出的手指数的积为 $6$ ，所以 $7 \times 8 = 56.7 \times 8 = 10 \times (2 + 3) + 3 \times 2 = 56$

$8 \times 9 =$ ？

因为两手伸出的手指数的和为 $7$ ，未伸出的手指数的积为 $2$ ，所以 $8 \times 9 = 72.8 \times 9 = 10 \times (3 + 4) + 2 \times 1 = 72$

A、

2

，

4

B、

1

，

4

C、

3

，

4

D、

3

，

1

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二、填空题

11. 某校开展“爱心助力乡村振兴”活动，艺术社团的同学们一共花了480元购买原材料，全部用于绘制秦腔脸谱.他们把所绘制的秦腔脸谱以每个25元的价格全部售出，将共获得的170元利润全部捐出，用于乡村图书馆建设.则他们绘制的秦腔脸谱的个数为.

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12. 甲、乙两个同学分别在长方形围墙外的两角．如果他们同时开始绕着围墙逆时针方向跑，甲每秒跑 $5$ 米，乙每秒跑 $4$ 米，那么甲最少要跑秒才能看到乙．

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13. 在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数字中存在着神秘的“黑洞”现象．数字黑洞：无论怎样设值，在规定的法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”，“卡普雷卡尔黑洞”，“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个 n 位正整数的所有数位上数字的 n 次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．如 n=1 时， 1¹=1 ，则称 1 是自恋数；n=2 时， 12≠1²+2² ，所以12不是自恋数．据研究，取任意一个可被3整除的正整数，分别将其各位数字的立方求出，将这些立方数相加组成一个新数，然后不断重复这个过程，可得到一个固定值，它（填写＂是＂或＂不是＂）自恋数．

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14. 已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b²+c³+d⁴＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是．

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三、解答题

15. 根据以下素材，探索完成任务．

实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？
素材1	我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过400公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的．
素材2	现有一个长为 $180 cm$ 的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，左右各有一个钢制挡板 $D$ 和 $E$ ，其中 $C$ 到左挡板的距离为 $50 cm$ ， $B$ 到右挡板的距离为 $30 cm$ ， $A$ 、 $B$ 两球相距 $40 cm$ ．
素材3	在钢球碰撞实验中（相撞时间不计），当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球接到左右挡板则以相同的速度反向运动．
问题解决
任务1	根据素材2，若 $A$ 球在数轴上表示坐标原点， $B$ 球表示的数为40，则 $C$ 球表示的数为_______，右挡板 $E$ 表示的数为_______．
任务2	碰撞实验中，若 $A$ 球以每秒 $10 cm$ 的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出 $B$ 球第一次和第二次撞向右挡板 $E$ 的时间．
任务3	在任务1、2的条件下，当3个钢球运动的路程和为 $650 cm$ 时， $C$ 球在数轴上表示的数是_______．（直接写出答案）

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16. 概念学习
规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，
比如 $2 \div 2 \div 2$ ， $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $2 \div 2 \div 2$ 写作 $2^{③}$ ，读作“2的3次商”； $(- 3) \div (- 3) \div (- 3) \div (- 3)$ 写作 ${(- 3)}^{④}$ ，读作“ $- 3$ 的4次商”，一般地，把 $a \div a \div a \div \dots \div a$ （ $a \neq 0$ ）这样n个a相除，写作 $a^{ⓝ}$ ，读作“a的n次商”．
初步探究：
（1）请直接写出计算结果： $3^{②} =$            ， ${(- \frac{4}{3})}^{③} =$           ；
（2）下列关于除方说法中，错误的是（       ）（单选）
A.当 $m \neq 0$ 时， $m^{②} = 1$
B.当 $m \neq 0$ 时， ${(- \frac{1}{m})}^{③} = - m$
C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数
D.n次商等于它本身的数是1
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
除方→ $9^{⑤} = 9 \div 9 \div 9 \div 9 \div 9 = 9 \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = {(\frac{1}{9})}^{3}$ →乘方（幂）的形式．
（3）归纳：请把有理数a的n次商（ $a \neq 0$ ， $n \geq 3$ ），写成乘方（幂）的形式为： $a^{ⓝ} =$           ；
（4）计算： $2^{⑤} \times {(- \frac{1}{2})}^{⑥} - (- 48) \div {(\frac{1}{4})}^{④}$

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二、填空题

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