北师大版数学九年级上册3.3 相似三角形判定定理的证明三阶

试卷更新日期：2026-08-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 $1$ ， $△ A B C$ 的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边 $B A$ 、 $C A$ 与网格线的交点，连接 $D E$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，
EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：BF等于（）

A、3：2 B、3：8 C、5：3 D、8：3

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3. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形 $A B C D$ 与四边形 $E F G H$ 都是正方形，连接 $D E$ 并延长，交 $B C$ 于点 $M$ ．若 $H$ 是 $A E$ 的中点， $A B = 5$ ，则 $E M$ 的长为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{5}$

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4. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BAC的平分线交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，连接GE、GF，以下结论：①ΔOAE≅ΔOBG；②四边形BEGF是菱形；③BE=CG；④ $\frac{P G}{A E}$ = $\sqrt{2}$ −1；⑤S_ΔPBC：S_ΔAFC=1：2，其中正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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5. 如图，已知在矩形 $A B C D$ 中，M是 $A D$ 边的中点， $B M$ 与 $A C$ 垂直，交直线 $A C$ 于点N，连接 $D N$ ，则下列四个结论中：① $C N = 2 A N$ ；② $D N = D C$ ；③ $\frac{C D}{A D} = \sqrt{2}$ ；④ $△ A M N ∽ △ C A B$ ．正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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6. 如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（ )

A、 $\sqrt{5} + 1$ B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $2 \sqrt{5} + 2$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $△ B P C$ 是等边三角形， $B P$ 、 $C P$ 的延长线分别交 $A D$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连结 $B D$ 、 $D P$ ， $B D$ 与 $C F$ 相交于点 $H$ ，给出下列结论：① $B E = 2 A E$ ；② $△ D F P ∽$ $△ B P H$ ；③ $D P^{2} = P H \cdot P C$ ；④ $F E : B C = (2 \sqrt{3} - 3) : 3$ ，其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. $△ A B C$ 中， $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ 上，连结 $B D$ ， $A E$ ， $D E$ ，若 $A D = B D$ ， $A B = A E$ ， $∠ A E D = ∠ D B C$ ，则 $∠ A B C$ 的大小为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $72 °$ D、 $75 °$

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二、填空题

9. 如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点 $E$ ， $F$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ ， $A B$ 的中点，两条平行线 $A K$ ， $C L$ 分别经过菱形 $E G F H$ 的顶点 $H$ ， $G$ 和边 $F G$ ， $E H$ 的中点 $M$ ， $N$ ．已知菱形 $E G F H$ 的面积为6，则阴影部分的面积之和为．

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10. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D为线段AB上靠近点A的黄金分割点，点E为线段AC上靠近点A的黄金分割点，点F为线段BC上靠近点B的黄金分割点，点G为线段BC上靠近点C的黄金分割点，连接DF， DG，连接BE分别与DF， DG交于点M， N，则MN：BE= ．

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11. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E， F ， G分别是边AB， BC ，CD的中点，AF与DE交于点M ， BD与AF ， MG分别交于点N， P ，则NP的长为.

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12. 如图，在矩形ABCD中，点P是边 BC上一动点，连结DP，作 $A H ⟂ D P$ 于点H，作BE⊥AH于点E，作CF⊥直线BE于点 F，交DP于点G.
已知： $\frac{A E}{E H} = m, \frac{B F}{F E} = n .$

(1)、若点E， F分别为AH， BE的中点时，记矩形 EFGH的面积为( $S_{1},$ 矩形ABCD的面积为S₂ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为；

(2)、在点 P的运动过程中，若m=2，矩形ABCD 与矩形 EFGH相似，则n的值为.

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三、解答题

13. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A B = D C$ ， $A D = 3$ ， $B C = 7$ ， $∠ B = ∠ C = 60 °$ ， $P$ 为 $B C$ 边上一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），过点 $P$ 作 $∠ A P E = ∠ B$ ， $P E$ 交 $C D$ 于 $E$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求证： $△ A P B ∽ △ P E C$ ；

(3)、若 $C E = 3$ ，求 $B P$ 的长．

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14. 四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外）， $△ E F G$ 是直角三角形， $E G = E F$ ，点G在CD的延长线上．

(1)、如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P ，如果 $E F = E P$ ，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接BF ，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．

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北师大版数学九年级上册3.3 相似三角形判定定理的证明 三阶

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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