北师大版数学九年级上册3.2 探索三角形相似的条件三阶

试卷更新日期：2026-08-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（）

A、 $(5 \sqrt{5} - 5) c m$ B、 $(15 - 5 \sqrt{5}) c m$ C、6.18cm D、 $(5 \sqrt{5} + 5) c m$

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2. 我们将宽与长之比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形称为黄金矩形.如图，矩形 ABCD为黄金矩形（AB>AD) ，在其内部作正方形 AEFD，若矩形 ABCD的边 AB=4，那么 CF的长为（ )

A、 $5 - \sqrt{5}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $6 - 2 \sqrt{5}$ D、 $4 - 2 \sqrt{5}$

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3. 如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则 $\frac{A D}{A C}$ 的值为(　　)

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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4. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $B D ⊥ A B$ ， BD，AC相交于点D， $A D = \frac{4}{7} A C$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 15 0^{°}$ ，则 $△ D B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{14}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{14}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{6 \sqrt{3}}{7}$

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5. 如图，在VABC中， AB=AC，点D在AC上，若AD=BC=BD，则 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ A B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{4 - \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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6. 如图，在边长为 $2$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $M$ 在线段 $B D$ 上， $N$ 在线段 $C D$ 上，若 $B M = 2 C N$ ，则 $2 A N + A M$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $5$

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ， $A F$ 平分 $∠ D A E$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $B F$ 交 $A E$ 于点 $G$ ，则 $A G$ 的长为（）

A、 $\frac{22}{5}$ B、 $\frac{40}{9}$ C、 $\frac{25 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

8. 在世界超级摩托车锦标赛 WSBK 葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军。摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外——内——外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关。在某段弯道中，车手从弯道入口A到出口B的路线总长为50m，车手按黄金分割比例选择入弯点 C (曲线 AC>曲线 CB)，则入弯点 C 到入口 A 的路程AC=m(结果精确到0.1m)

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9. 如图，把边长为5的正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $n ° (0 < n < 90)$ 得到正方形 $O D E F, D E$ 与 $B C$ 交于点 $P, E D$ 的延长线交 $A B$ 于点 $Q$ ，交 $O A$ 的延长线于点 $M$ ．若 $B Q : A Q = 4 : 1$ ，则 $A M =$ ．

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10. 矩形 $A B C D$ 中，E是对角线 $A C$ 上一点，且 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{5}$ ， F是 $B C$ 上一点，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{B F}{C F} = \frac{3}{5}$ ，连接 $E F$ ，过点E作 $E G ⊥ E F$ 交 $D C$ 的延长线于G，则 $\frac{D G}{D C} =$ ．

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11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=9，点D，E分别在AB和BC边上.若∠AED=45°，CE=3，则AD的长为 .

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三、解答题

12. 如图，在四边形ACBD中，AB⊥CD且AB平分 CD，∠BCD＝∠DAE。在CD上取一点F，使CF＝2AF.

(1)、求证：E是BD的中点.

(2)、若∠CAF的平分线AG交BC于点G，交 CB于点 H，求证： BD·AH＝AG·AF.

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13. 如图，在正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF.

(1)、求证：AG=BF；

(2)、若正方形边长为1，当点F为HB中点时，求AE的长；

(3)、求证： $C F - A G = \sqrt{2} O F$ .

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北师大版数学九年级上册3.2 探索三角形相似的条件 三阶

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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