北师大版数学九年级上册3.2 探索三角形相似的条件二阶

试卷更新日期：2026-08-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，点 D，E 分别在△ABC 的边 AB，AC 上，且DE 与 BC 不平行.下列条件中，能判定△ADE∽△ACB的是( )

A、 $. \frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ B、 $\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}$ C、 $. \frac{D E}{B C} = \frac{A E}{A B}$ D、 $\frac{D E}{B C} = \frac{A D}{A C}$

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2. 下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是( )

A、都含有一个50°的内角 B、都含有一个70°的内角 C、都含有一个80°的内角 D、都含有一个100°的内角

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3. 2025年 9月 13 日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力. 如图，乐器上的一根弦 AB长为 80cm，两个端点 A，B固定在乐器的板面上，支撑点 C是靠近点 B的黄金分割点(即 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ )，则支点 C到端点 B的距离为( )

A、 $(120 - 40 \sqrt{5}) c m$ B、 $(80 - 40 \sqrt{5}) c m$ C、 $40 \sqrt{5} c m$ D、 $80 \sqrt{5} c m$

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4. 下列 $4 \times 4$ 的正方形网格中，小正方形的边长均为 $1$ ，三角形的顶点都在格点上，则与 $△ A B C$ 相似的三角形所在的网格图形是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, A B = 13, B C = 5$ ，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段 $A Q$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、6 D、 $\frac{120}{13}$

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6. 如图，在△ABC 中，BC=9，∠ABC 的平分线交 AC 于点 F，点 D，E 分别在边AB，AC 上.若 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{E F}{E C} = \frac{1}{3},$ 则BD-DE 的值为( )

A、3 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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7. 如图，AC⊥BD，O为垂足，△AOD 的中线EO 的延长线交BC 于点F，∠C=∠D.若OE=OB=5，OC=12，则OD 的长为 ( )

A、8 B、 $\frac{17}{2}$ C、 $\frac{120}{13}$ D、 $\frac{144}{13}$

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8. 如图，点D、E、F分别在等边 $△ A B C$ 的三边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 上，且 $D E ⊥ E F$ ，那么补充下列条件后不能判定 $△ B D F$ 和 $△ C F E$ 相似的是（）

A、 $∠ D F E = 60 °$ B、 $∠ D F B = ∠ E F C$ C、 $\frac{D B}{F C} = \frac{D F}{F E}$ D、 $\frac{B D}{C F} = \frac{B F}{C E}$

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9. 已知，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，那么下列各条件中，不一定能判定 $D E ∥ B C$ 的是（）

A、 $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{A E}{E C} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}$ ， $\frac{A E}{A C} = \frac{2}{3}$ C、 $\frac{A E}{A C} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{D B}{A D} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{A E}{E C} = 2$

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10. 如图，在△ABC中， AD和BE分别是BC， AC边上的高，且相交于F点，若 $B F = A F ， \frac{B D}{C D} = \frac{5}{2} ，$ 则 $\frac{A F}{D F}$ 的值为( )

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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二、填空题

11. 如图所示，有 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ ，小嘉同学欲添加两个条件使得 $△ A B C ∽ △ A D E$ ，现有三个条件可供他选择：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $∠ B = ∠ D$ ；③ $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ．则正确的组合可以是（填序号）

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12. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比.如图，点B为AC的黄金分割点（AB＞BC），若AC=40cm，则AB的长为cm.（结果保留根号）

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8 .$ 点 $P$ 为边 $A C$ 上异于 $A$ 的一点，以 $P A$ ， $P B$ 为邻边作 $▱ P A Q B$ ，则线段 $P Q$ 的最小值是．

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14. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 4$ ， $A C = 6$ ，分别以 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧交于点 $D$ ，点 $E$ ，直线 $D E$ 与交 $A B$ 交于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ， $C F$ 与 $B G$ 交于点 $H$ ，则 $C H$ 的长为．

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15. 如图，已知△ABC∽△ACD，若AB=9， AD=4，则AC的长为.

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三、解答题

16. 如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD（ $A B > A D$ ），若这个矩形为黄金矩形（AD 与 AB 之比等于黄金比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ）.

(1)、求该矩形的长.（结果保留根号）

(2)、求该矩形的面积.（结果保留根号）

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17. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在边 $D C$ 上，若 $E D : E C = 1 : 2, B F = 8 cm$ ，求 $E F$ 的长．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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