北师大版数学九年级上册3.2 探索三角形相似的条件一阶

试卷更新日期：2026-08-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 黄金分割（比值约为 $0.618$ ）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感，如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处 $B$ 点恰好是横画 $A C$ 的黄金分割点 $(A B > B C)$ ，若横画 $A C$ 的长为 $2 cm$ ，则 $A B$ 的长为（结果保留到 $0.1 cm$ ）（）

A、 $0.8 cm$ B、 $1 cm$ C、 $1.2 cm$ D、 $1.6 cm$

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2. 如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD>BD），AB=2，则AD的长是（）

A、1 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $3 - \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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3. 如图，点 $C$ 把线段 $A B$ 分成两条线段 $A C$ 和 $B C$ ，如果 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{A C}$ ，那么下列说法错误的是（）

A、线段 $A B$ 被点 $C$ 黄金分割 B、点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点 C、 $A B$ 与 $A C$ 的比等于黄金比 D、 $A C$ 与 $A B$ 的比等于黄金比

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4. 如图是一片叶子，P是AB 的黄金分割点(PA>PB)，则 $\frac{P B}{P A} =$ ( )

A、 $\frac{P A}{A B}$ B、 $\frac{A B}{P B}$ C、 $\frac{P A}{P B}$ D、 $\frac{P A^{2}}{A B^{2}}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 78 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 9$ ．将 $△ A B C$ 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知△ABC 的三边长为2，5，6，若△DEF∽△ABC，则△DEF 的三边长可能为 ( )

A、3，6，7 B、6，15，18 C、3，8，9 D、8，10，12

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7. 如图，点 $P$ 是 $A B$ 的黄金分割点，即 $P$ 点满足 $\frac{B P}{A P} = \frac{A P}{A B}$ ，若 $A B = 2$ ，则 $A P$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $\sqrt{5} + 2$ D、0.618

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8. 某观景平台为长方形，当短边与长边的比接近黄金比（约为 $0.618$ ）时，视觉效果最佳．若该平台的长边为 $10 m$ ，为达到最佳视觉效果，其短边的长度应为（）

A、 $3.82 m$ B、 $5 m$ C、 $6.18 m$ D、 $7.2 m$

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9. 如图，四边形ABCD为正方形，延长BC至点E，以线段CE为边作正方形CEFG，取 BC的中点H，连结DH，下列能说明点G是线段 DC的黄金分割点的条件是( )

A、HC=CE. B、DH=2CE. C、DH=HE. D、 $D H = \sqrt{2} C E .$

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10. 如图，标号分别为①，②，③，④的四个三角形的顶点都在方格纸的格点上，下列选项中，两个三角形相似的是（）

A、①④ B、①③ C、②③ D、②④

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二、填空题

11. 已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB ．若AB＝2，则BP＝．

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12. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“ $s o l$ ”．如图，若瓶高 $A B = 10 c m$ ，且敲击时发出音阶“ $s o l$ ”，则液面高度 $A C$ 为 $c m$ ．（结果保留根号）

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13. 黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列.如图，点B是AC的黄金分割点（AB>BC），若AC的长度为8cm，那么AB的长度是.

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14. 如图，利用黄金分割法，所做 $E F$ 将矩形窗框 $A B C D$ 分为上下两部分，其中 $E$ 为边 $A B$ 的黄金分割点，即： $B E^{2} = A E \cdot A B$ ，已知 $A B$ 为2米，则线段 $B E$ 的长为米．

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15. 数学中，把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每前一个半径和后一个半径的比都是黄金分割比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为cm．

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三、解答题

16. 人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？

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17. 如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, A C = B C$ ， $∠ B A C 、 ∠ A C B$ 的平分线 $A E 、 C D$ 相交于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A C F ∽ △ A B E$ .

(2)、若 $A F = 2$ ，求 $A E$ 的长.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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