苏科版数学九年级上册1.3用反比例函数解决问题同步练习

试卷更新日期：2026-08-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为 $x$ ，频率为 $y$ ，选取 $5$ 组数对 $(x, y)$ ，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少. 现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当x=40时，y=15，则下列说法错误的是

A、平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B、当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C、当x=50时，平均每人分到粮食12千克 D、这批粮食总量有500千克

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3. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，R₁的阻值随空气中甲醛质量浓度c的变化而变化（如图②).当甲醛质量浓度（ $c > 0.1 m g / m^{3}$ 时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ )

A、空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，R₁的阻值逐渐增大 B、当 $R_{1} = 300 Ω$ 时，甲醛检测仪会报警 C、当c=0.8mg/m³时， R₁的阻值为25Ω D、当房间内甲醛质量浓度低于0.1mg/m³时，R₁的阻值高于200Ω

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4. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间 $A B$ 段的平均行驶速度 $v (k m / h)$ 与行驶时间 $t (h)$ 是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过 $120 k m / h$ ，最低车速不得低于 $60 k m / h$ ，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间 $A B$ 段的时间可能是（）

A、 $0.1 h$ B、 $0.35 h$ C、 $0.45 h$ D、 $0.5 h$

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5. 在物理实验课上，同学们分小组进行探究电流 I (A)与电阻 R (Ω)关系的实验，实验要求每个小组需保持电阻两端电压恒定.依据实验所得数据，在给定的坐标系中，甲、乙、丙三个小组分别绘制出了相应的图象(如图).根据图象及物理学知识 U=IR，可判断甲、乙、丙三个小组所控制的电阻两端电压的大小关系为( )

A、 $U_{甲} < U_{乙} < U_{丙}$ B、 $U_{甲} > U_{乙} > U_{丙}$ C、 $U_{甲} = U_{乙} = U_{丙}$ D、 $U_{乙} < U_{甲} < U_{丙}$

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6. 日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液.如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数 $y = \frac{k}{x},$ （k＞0，k为常数）的图象上.若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为a、b、c，f则其大小关系为（）（提示：盐水的浓度= $\frac{氯化钠的质量}{盐水的质量}$ ×100%）

A、b>a=c B、a=c>b C、c>a>b D、b>a>c

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7. 变速自行车通过调节牙盘（前齿轮）与飞轮（后齿轮）的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数 $\times$ 前齿轮转速 $=$ 后齿轮齿数 $\times$ 后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是（）

A、当 $x = 25$ 时， $y = 160$ B、当 $y = 200$ 时， $x = 20$ C、要增大y，应增大x D、若x增大一倍，则y减少一半

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8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm)与液体密度 $ρ (g / c m^{3})$ 呈反比例函数关系，其图象如图所示（ρ＞0），下列说法正确的是（ )

A、当液体密度 $ρ \geq 1 g / c m^{3}$ 时，浸在液体中的高度 $h \geq 20 c m$ B、当液体密度 $ρ = 2 g / c m^{3}$ 时，浸在液体中的高度h=40cm C、当浸在液体中的高度0<h≤25cm时，该液体密度ρ≤0. 8 $g / c m^{3}$ D、当液体密度 $0 < ρ \leq 4 g / c m^{3}$ 时，浸在液体中的高度h≥5cm

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二、填空题

9. 某蓄电池的电压为 $48 V$ ，使用此蓄电池时，电流 $I$ （单位： $A$ ）与电阻 $R$ （单位： $Ω$ ）的函数表达式为 $I = \frac{48}{R}$ ，当 $R = 12 Ω$ 时， $I$ 的值为 $A$ ．

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10. 发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形 $A B C D$ 和两个反比例函数图象一部分 $D E 、 C F$ 组成．以地面为 $x$ 轴、 $A B$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系．已知 $A B = 84 m, B C = 20 m, E F = 16 m$ ，则整个冷却塔的高度为m．

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11. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数 $y$ （度）与镜片焦距 $x$ （米）成反比例函数关系， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了度．

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12. 某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高 $y$ （单位： $cm$ ）与物距（小孔到㛭烛的距离） $x$ （单位： $cm$ ）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于 $4 cm$ ，求小孔到蜡烛的距离至多是 $cm$ ．

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13. 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻 $R_{1} = 10 Ω ， R_{2}$ 是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积 $S$ 为 $0.01 m^{2}$ ，压敏电阻 $R_{2}$ 的阻值随所受液体压力 $F$ 的变化关系如图2所示（水深 $h$ 越深，压力 $F$ 越大），电源电压保持 $6V$ 不变，当电路中的电流为 $0 .3A$ 时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式 $I = \frac{U}{R} ， F = p S ， 100 0Pa=1kPa$ ），则下列说法中正确的是．
①当水箱未装水 $(h = 0 m)$ 时，压强 $p$ 为 $0kPa$
②当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力 $F$ 为 $40 N$
③当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度 $h$ 是 $0.8 m$
④若想使水深 $1 m$ 时报警，应使定值电阻 $R_{1}$ 的阻值为 $12 Ω$

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三、作图题

14. 我国传统的计重工具叫称杆也称杆称，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器（如图1），小亮模拟杆称设计了杠杆平衡试验（如图2）：在一根 $1.2$ 米长，匀质的木杆中点 $O$ 处绑细绳将木杆吊起来，在点 $O$ 的左侧距离中点 $20cm$ 处挂一个重 $8N$ 的物体，在点 $O$ 右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，小亮调整弹簧秤与点 $O$ 的距离 $L$ （单位： $cm$ ），发现弹簧秤的示数 $F$ （单位： $N$ ）会随之发生改变，他将得到的几组数据四舍五入后制作了下面的表格．
$L / cm$
5
10
15
20
25
30
35
$F / N$
32
16
$10.7$
8
$6.4$
$5.3$
$4.6$

(1)、在已学过的函数中选择合适的模型，求 $F$ 关于 $L$ 的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出 $F$ 与 $L$ 的大致函数图象；

(2)、若弹簧秤的最大量程是 $20 N$ ，求 $L$ 的取值范围．

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15. 在现代智能仓储系统中，一款名为“ $SwiftBot$ ”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg）
…
10
12
15
20
30
…
速度v（m/s）
…
6
5
4
3
2
…

(1)、把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如 $(10, 6)$ ， $(12, 5)$ …，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；

(2)、观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式；

(3)、某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量．

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四、解答题

16. 如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点（24，50）.

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠16m，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？

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17. 心理学家研究发现，一般情况下，一堂40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化、开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 $y$ 随时间 $x$ （分钟）的变化规律如图所示（其中 $A B$ ， $B C$ 分别为线段， $C D$ 为双曲线的一部分）．

(1)、求 $C D$ 段反比例函数的解析式；

(2)、开始上课后第六分钟时与第三十二分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

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18. 如图，平行于 $y$ 轴的直尺（一部分）与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ， $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ， $D$ ，连接 $A C$ ，点 $A$ ， $B$ 的刻度分别为5，2，直尺的宽度 $B D = 2$ ， $O B = 2$ ，设直线 $A C$ 的解析式为 $y = k x + b$ ．

(1)、求反比例函数解析式和直线 $A C$ 的解析式；

(2)、请结合图象直接写出不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集；

(3)、沿 $x$ 轴负方向平移直尺，当 $B C$ 恰好平分 $∠ A B D$ 时，直接写出直尺平移的距离．

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$L / cm$	5	10	15	20	25	30	35
$F / N$	32	16	$10.7$	8	$6.4$	$5.3$	$4.6$

载重W（kg）	…	10	12	15	20	30	…
速度v（m/s）	…	6	5	4	3	2	…